任意四边形、梯形与相似模型
例题精讲
板块三 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDBABACFGBCAGEC
BGC
①AD?AE?DE?AF；
②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB?16，AD?10，BE?4，那么FC的
长度是多少？
DFAC
【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平
BE
行于CD，所以BF:FC?BE:CD?4:16?1:4，所以FC?10?4?8． 1?4【答案】8
【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？
BE
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有一个金字塔模型，所以DE:AB?DC:AC，DE:15?40:60，所以DE?10厘米． 【答案】10
【例 3】 如图，DE平行BC，若AD:DB?2:3，那么S△ADE:S△ECB?________．
ADBEA0D10203040C5060
C【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据金字塔模型AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:(2?3)?2:5，
S△ADE:S△ABC?22:52?4:25，
设S△ADE?4份，则S△ABC?25份，S△BEC?25?5?3?15份，所以S△ADE:S△ECB?4:15．
【答案】4:15
【例 4】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．
ADFBEGC
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，所以
S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9，因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5 【答案】1:3:5
【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．
ADBE
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10 【答案】10
【巩固】如图， △ABC中， PQ，FG，MN，BC互相平行，DE，AD?DF?FM?MP?PB，
:S:S:S? ． 则S:S△ADE四边形DEGF四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCBCADFMEGNQCPB
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设S△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有S四边形DEGF?3?7份，S?9份． 份，同理有S四边形FGNM?5份，S:S:S:S?1:3:5:7:9 所以有S:S【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列． 【答案】1:3:5:7:9
【例 5】 已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB?2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，求
S△ABC．
四边形MNQP四边形PQCB△ADE四边形DEGF四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB
小学奥数 任意四边形、梯形与相似模型(三).教师版
