离散数学作业6
姓 名： 袁志伟 学 号：1741001266466 得 分： 教师签名： 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业．
要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：
1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．
一、填空题
1．命题公式P?(Q?P)的真值是 1或T ．
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如
果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 （P?Q）→R ．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P?Q的主析取范式是 (P?Q?R) ?(P?Q?﹁R) ．
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ?x(P(x) ?Q(x)) ．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式?xA(x)??yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) ?A(b)) ?((B(a) ?B(b)) ．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为 0(F) ．
7．谓词命题公式(?x)((A(x)?B(x)) ?C(y))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x)(P(x) ?Q(x) ?R(x，y))中的约束变元为 x ．
三、公式翻译题
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1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
设P：今天是晴天。 则﹁P。
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
设 P：小王去旅游。 Q：小李去旅游。 则 P?Q
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设 P：他去旅游。
Q：他有时间。 则 P→Q
4．将语句“41次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式．
设 P：41次列车下午五点。
Q：41次列车下午六点开。 则 P或Q 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
设 A（x）：x是人
B（x）：去工作 ?x(A(x) ?﹁B(x))
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
设 A（x）：x是人
B（x）：努力工作 ?x(A(x) ?B(x))
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式?P?P的真值是1．
答：错误。?P?P的真值是0，它是一个永假式，命题公式的否定定律就
是?P?P=F。因为P和P的否不能同时为真。
2．(?x)(P(x)→Q(y)∧R(z))中的约束变元为y．
答：错误。该式中的约束元为x。
3．谓词公式(?x)P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)中?x量词的辖域为
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P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)．
答：错误。谓词公式(?x)P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)中?x量词的辖域为
P(x,y)。 若谓词公式(?x)P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)变为(?x)(P(x,y)?(?z)Q(x,y,z))?(?y)R(y,z)?x量词的辖 域为P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)。
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (?x)A(x)? B(x) 前提引入
(2) A(y) ?B(y) US (1)
答：错误（1）因为B(x)不受全称量词?x的约束，不能使用全称指定规则。
?x的辖域仅是A(x)，而不是A(x) ? B(x)
（2）应为A(y) ?B(x)，换名时，约束元与自由变元不能混淆。
四．计算题
1． 求P?Q?R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 解：P?Q?R的析取范式为P?Q?R?﹁P?Q?R;
P?Q?R的合取范式为P?Q?R?(﹁P?Q?R) ;
P?Q?R的主析取范式为：
(﹁P?﹁P?﹁P) ?(﹁P?﹁Q?R) ?(﹁P? Q?﹁R) ?(﹁P? Q?R) ?( P?﹁Q?R) ?( P? Q?﹁R) ?( P? Q?R)
P?Q?R的主合取范式为: (﹁P?Q?R)
2．求命题公式(P?Q)?(R?Q) 的主析取范式、主合取范式． 解:(1)命题公式(P?Q)?(R?Q) 的主析取范式
(P?﹁Q)?(R?Q)= ﹁(P?﹁Q) ?(R?Q)=（﹁P?Q）?(R?Q)
其中（﹁P?Q）=（﹁P?Q）?（R?﹁R）=（﹁P?Q? R）?（﹁P?Q?﹁R） 其中(R?Q)= (R?Q) ?（P?﹁P）=（P?Q? R）?（﹁P?Q? R）
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所以原式=（﹁P?Q? R）?（﹁P?Q?﹁R）?（P?Q? R）?（﹁P?Q? R） =（﹁P?Q? R）?（﹁P?Q?﹁R）?（P?Q? R）
=（﹁P?Q?﹁R）?（﹁P?Q? R）?（P?Q? R） =m2?m3?m7 (2) 命题公式(P?Q)?(R?Q) 的主合取范式为 M0? M1? M4? M5? M6可写为
（P?Q?R）?（P?Q?﹁R）? (﹁P?﹁Q?R）?(﹁P?Q?﹁R) ? (﹁P?﹁Q?R）
3．设谓词公式(?x)(P(x,y)?(?z)Q(y,x,z))?(?y)R(y,z)． （1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 解：（1）量词?x的辖域为P(x,y)?(?z)Q(x,y,z) 量词?z的辖域为Q(x,y,z) 量词?y的辖域为R(y,z)
（2）谓词公式(?x)(P(x,y)?(?z)Q(y,x,z))?(?y)R(y,z)中 P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元。
Q(x,y,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元。 R(y,z)中的y是约束变元，z是自由变元。
4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式；
答：谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式为 ?y?xP(x,y)=?xP(x, a1) ??xP(x, a2)
=(P (a1, a1）? P (a2, a1)) ?(P (a1, a2）? P (a1, a2))
五、证明题
1．试证明 (P?(Q??R))??P?Q与? (P??Q)等价．
证明: (P?(Q??R))??P?Q?(?P?( Q??R)) ??P?Q
?(?P?Q??R) ??P?Q
?(?P??P?Q) ?( Q??P?Q) ?(?R?? P?Q) ?(?P?Q) ?(?P?Q) ?(?P?Q??R) ??P?Q (吸收律) ?? (P??Q) （摩根律）
2．试证明：┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐C ? ┐A．
证明： ?(A??B)?(?B?C)??C
?(?A?B)?(?B?C)??C
?(?A?B)?(?B?C)?( C??C) ?(?A?B)?(( ?B??C)???0) ?(?A?B)?(?B??C) ?(?A?(?B??C))? (B?(?B??C))
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?(?A?(?B??C))?0 ??A?(?B??C) ??(A?B?C)
故由左边不可推出右边?A
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2018年电大离散数学网络课程形成性考核第6次形考答案
