式中v?2gh是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为
22A?x0??v0/????m2g2kh1? k(m1?m2)g-2
-1
本题也可用机械能守恒定律求振幅A．
5-17 质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10 m作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s
求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
2分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度amax?A?，由此可确定振动的周期T．另
外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E＝
kA2/2．当动能与势能相等时，Ek＝EP＝kA2/4．因而可求解本题．
解 （1）由分析可得振动周期 T?2π/ω?2πA/amax?0.314s
（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即
11mA2?2?mAamax 22?2.0?10?3JEk?E? （3）设振子在位移x0处动能与势能相等，则有
2kx0/2?kA2/4
得x0??2A/2??7.07?10?3m
（４）物体位移的大小为振幅的一半（即x?A/2）时的势能为
EP?则动能为EK?E?EP?3E/4
121?A?kx?k???E/4 22?2?5-18 一劲度系数k=312 N?m的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量m0系数??1?0.3kg的
物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为m?0.2kg的物体，两物体间的最大静摩擦
?0.5.求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量.
12分析简谐运动系统的振动能量为E?Ek?Ep?kA.因此只要求出两物体间无相对滑
2动条件下，该系统的最大振幅Amax即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑
动，故可将它们视为一个整体，则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为
??k.然后以物体m为研究对象，它和m0一起作简谐运动所需的回复力是由两物
m0?m体间静摩擦力来提供的.而其运动中所需最大静摩擦力应对应其运动中具有最大加速度时，即?mg?mamax?m?2Amax，由此可求出Amax.
解根据分析，振动的角频率
??由?mgk m0?m?mamax?m?2Amax得
Amax??g(m0?m)?g 2?k则最大能量
121(m?m)?g2Emax?kAmax?k[0]22k 222(m?m)?g?0?9.62?10?3J2k
5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为x1?0.05cos?10t?0.75π??m?；
x2?0.06cos?10t?0.25π??m?．求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动x3?0.07cos?10t??3??m?，则?3为多少时，x1＋x3的振幅最大？又?3为
多少时，x2＋x3的振幅最小？
题5-19图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动
的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1?，
其大小与两个分振动的初相差?2??1相关．而合振动的初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2??
解 （1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为Δ???2??1??π/2，
故合振动振幅为
2A?A12?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?10?2m
合振动初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2???arctan11?1.48rad
（2）要使x1＋x3振幅最大，即两振动同相，则由Δ??2kπ得
?3??1?2kπ?2kπ?0.75π,k?0,?1,?2,...
要使x1＋x3的振幅最小，即两振动反相，则由Δ???2k?1?π得
?3??2??2k?1?π?2kπ?1.25π,k?0,?1,?2,...
5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1和x2；（2）在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．
分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．
解 （1）由振动曲线可知，A＝0.1 ｍ，T＝2ｓ，则ω＝2π／T＝πｓ．曲线1表示质点初始时刻在x＝0 处且向x轴正向运动，因此φ1＝－π／2；曲线2 表示质点初始时刻在x＝A /2 处且向x轴负向运动，因此φ2＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b）所示．则两振动的运动方程分别为
-1
x1?0.1cos?πt?π/2??m? 和x2?0.1cos?πt?π/3??m?
（2）由图（b）可知振动2超前振动1 的相位为5π／6． （3）x?x1?x2?A?cos??t???
其中A??2A12?A2?2A1A2cos??2??1??0.052m
??arctanA1sin?1?A2sin?2π?arctan??0.268???
A1cos?1?A2cos?212则合振动的运动方程为 x?0.052cos?πt?π/12??m?
题5-20 图
5-21 将频率为348 Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz．若在待测频率音叉的一端加上一小块物体，则拍频数将减少，求待测音叉的固有频率．
分析 这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法．在频率?1和拍频数Δ?＝|?2－?1|已知的情况下，待测频率?2可取两个值，即?2＝?1 ±Δ?．式中Δ?前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况来决定． 解 根据分析可知，待测频率的可能值为
?2＝?1 ±Δ?＝（348 ±3） Hz
因振动系统的固有频率v?1k，即质量m增加时，频率?减小．从题意知，当待测音
2πm叉质量增加时拍频减少，即｜?2－?1｜变小．因此，在满足?2与Δ?均变小的情况下，式中
只能取正号，故待测频率为?2＝?1＋Δ?＝351 Hz
*5-22 图示为测量液体阻尼系数的装置简图，将一质量为m的物体挂在轻弹簧上，在空气中测得振动的频率为?1，置于液体中测得的频率为?2，求此系统的阻尼系数．
题5-22图
分析 在阻尼不太大的情况下，阻尼振动的角频率ω与无阻尼时系统的固有角频率ω0及阻尼系数δ有关系式???0??．因此根据题中测得的?1和?2（即已知ω0、ω），就可求出δ．
解 物体在空气和液体中的角频率为ω0?2πv1和ω?2πv2，得阻尼系数为
2 ???02??2?2πv12?v222
物理学教程(第二版)上册第五章课后习题答案详解
