式中v?2gh是物体由h 高下落至盘时的速度.故系统振动的振幅为
22A?x0??v0/????m2g2kh1? k(m1?m2)g-2
-1
本题也可用机械能守恒定律求振幅A.
5-17 质量为0.10kg的物体,以振幅1.0×10 m作简谐运动,其最大加速度为4.0 m·s
求:(1)振动的周期;(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能;(3)物体在何处其动能和势能相等?(4)当物体的位移大小为振幅的一半时,动能、势能各占总能量的多少?
2分析 在简谐运动过程中,物体的最大加速度amax?A?,由此可确定振动的周期T.另
外,在简谐运动过程中机械能是守恒的,其中动能和势能互相交替转化,其总能量E=
kA2/2.当动能与势能相等时,Ek=EP=kA2/4.因而可求解本题.
解 (1)由分析可得振动周期 T?2π/ω?2πA/amax?0.314s
(2)当物体处于平衡位置时,系统的势能为零,由机械能守恒可得系统的动能等于总能量,即
11mA2?2?mAamax 22?2.0?10?3JEk?E? (3)设振子在位移x0处动能与势能相等,则有
2kx0/2?kA2/4
得x0??2A/2??7.07?10?3m
(4)物体位移的大小为振幅的一半(即x?A/2)时的势能为
EP?则动能为EK?E?EP?3E/4
121?A?kx?k???E/4 22?2?5-18 一劲度系数k=312 N?m的轻弹簧,一端固定,另一端连接一质量m0系数??1?0.3kg的
物体,放在光滑的水平面上,上面放一质量为m?0.2kg的物体,两物体间的最大静摩擦
?0.5.求两物体间无相对滑动时,系统振动的最大能量.
12分析简谐运动系统的振动能量为E?Ek?Ep?kA.因此只要求出两物体间无相对滑
2动条件下,该系统的最大振幅Amax即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑
动,故可将它们视为一个整体,则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为
??k.然后以物体m为研究对象,它和m0一起作简谐运动所需的回复力是由两物
m0?m体间静摩擦力来提供的.而其运动中所需最大静摩擦力应对应其运动中具有最大加速度时,即?mg?mamax?m?2Amax,由此可求出Amax.
解根据分析,振动的角频率
??由?mgk m0?m?mamax?m?2Amax得
Amax??g(m0?m)?g 2?k则最大能量
121(m?m)?g2Emax?kAmax?k[0]22k 222(m?m)?g?0?9.62?10?3J2k
5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为x1?0.05cos?10t?0.75π??m?;
x2?0.06cos?10t?0.25π??m?.求:(1)合振动的振幅及初相;(2)若有另一同方向、同频率的简谐运动x3?0.07cos?10t??3??m?,则?3为多少时,x1+x3的振幅最大?又?3为
多少时,x2+x3的振幅最小?
题5-19图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知,两个同方向、同频率简谐运动
的合成仍为一简谐运动,其角频率不变;合振动的振幅A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1?,
其大小与两个分振动的初相差?2??1相关.而合振动的初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2??
解 (1)作两个简谐运动合成的旋转矢量图(如图).因为Δ???2??1??π/2,
故合振动振幅为
2A?A12?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?10?2m
合振动初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2???arctan11?1.48rad
(2)要使x1+x3振幅最大,即两振动同相,则由Δ??2kπ得
?3??1?2kπ?2kπ?0.75π,k?0,?1,?2,...
要使x1+x3的振幅最小,即两振动反相,则由Δ???2k?1?π得
?3??2??2k?1?π?2kπ?1.25π,k?0,?1,?2,...
5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图(a)所示,求(1)两简谐运动的运动方程x1和x2;(2)在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量,并比较两振动的相位关系;(3)若两简谐运动叠加,求合振动的运动方程.
分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期,因此只要利用图中所给初始条件,由旋转矢量法或解析法求出初相位,便可得两个简谐运动的方程.
解 (1)由振动曲线可知,A=0.1 m,T=2s,则ω=2π/T=πs.曲线1表示质点初始时刻在x=0 处且向x轴正向运动,因此φ1=-π/2;曲线2 表示质点初始时刻在x=A /2 处且向x轴负向运动,因此φ2=π/3.它们的旋转矢量图如图(b)所示.则两振动的运动方程分别为
-1
x1?0.1cos?πt?π/2??m? 和x2?0.1cos?πt?π/3??m?
(2)由图(b)可知振动2超前振动1 的相位为5π/6. (3)x?x1?x2?A?cos??t???
其中A??2A12?A2?2A1A2cos??2??1??0.052m
??arctanA1sin?1?A2sin?2π?arctan??0.268???
A1cos?1?A2cos?212则合振动的运动方程为 x?0.052cos?πt?π/12??m?
题5-20 图
5-21 将频率为348 Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成,测得拍频为3.0Hz.若在待测频率音叉的一端加上一小块物体,则拍频数将减少,求待测音叉的固有频率.
分析 这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法.在频率?1和拍频数Δ?=|?2-?1|已知的情况下,待测频率?2可取两个值,即?2=?1 ±Δ?.式中Δ?前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时,拍频数变化的情况来决定. 解 根据分析可知,待测频率的可能值为
?2=?1 ±Δ?=(348 ±3) Hz
因振动系统的固有频率v?1k,即质量m增加时,频率?减小.从题意知,当待测音
2πm叉质量增加时拍频减少,即|?2-?1|变小.因此,在满足?2与Δ?均变小的情况下,式中
只能取正号,故待测频率为?2=?1+Δ?=351 Hz
*5-22 图示为测量液体阻尼系数的装置简图,将一质量为m的物体挂在轻弹簧上,在空气中测得振动的频率为?1,置于液体中测得的频率为?2,求此系统的阻尼系数.
题5-22图
分析 在阻尼不太大的情况下,阻尼振动的角频率ω与无阻尼时系统的固有角频率ω0及阻尼系数δ有关系式???0??.因此根据题中测得的?1和?2(即已知ω0、ω),就可求出δ.
解 物体在空气和液体中的角频率为ω0?2πv1和ω?2πv2,得阻尼系数为
2 ???02??2?2πv12?v222
物理学教程(第二版)上册第五章课后习题答案详解
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