物理学教程第二版第五章课后习题答案
第五章 机械振动
5-1 一个质点作简谐运动,振幅为A,在起始时刻质点的位移为?动,代表此简谐运动的旋转矢量为( )
A,且向x轴正方向运2
题5-1图
分析与解(B)图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为-A/2,且投影点的运动方向指向Ox轴正向,即其速度的x分量大于零,故满足题意.因而正确答案为(B). 5-2 一简谐运动曲线如图(a)所示,则运动周期是( )
(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D)2.00 s
题5-2图
分析与解 由振动曲线可知,初始时刻质点的位移为A/2,且向x轴正方向运动.图(b)是其相应的旋转矢量图,由旋转矢量法可知初相位为-2π/3.振动曲线上给出质点从A/2 处运动到x=0处所需时间为1 s,由对应旋转矢量图可知相应的相位差???则角频率?2??5???,326?Δ?/Δt?5?2?rad?s?1,周期T??2.40s.故选(B). 6?5-3 两个同周期简谐运动曲线如图(a)所示, x1的相位比x2的相位( ) (A)落后
ππ(B)超前(C)落后π(D)超前π 22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图(b)即可得到答案为(B).
题5 -3图
5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后,振幅仍为A,则这两个简谐运动的相位差为( ) (A)60(B)90(C)120(D)1803的振幅仍为A.正确答案为(C).
????
?分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120时,合成后的简谐运动
题5-4图
5-5 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt???π??,式中x的单位为m,t的单位为s.求:4?(1)振幅、频率、角频率、周期和初相;(2)t?2s时的位移、速度和加速度. 分析 可采用比较法求解.将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
x?Acos??t???作比较,即可求得各特征量.运用与上题相同的处理方法,写出位移、速
度、加速度的表达式,代入t值后,即可求得结果.
解 (1)将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得:振幅A=0.10m,角频率??20πrad?s,初相?=0.25π,则周期T?2π/ω?0.1s,频率
?1v?1/THz.
(2)t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10?2m v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s-1 a?d2x/d2t??40π2cos?40π?0.25π???2.79?102m?s-2
5-6 一远洋货轮,质量为m,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面附近货轮的水平截面积近似相等,水的密度为ρ,且不计水的粘滞阻力,证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动,并求振动周期.
分析 要证明货轮作简谐运动,需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时,它所受的合外力
F与位移x间的关系,如果满足F??kx,则货轮作简谐运动.通过F??kx即可求得振动周期T?2π/ω?2πm/k.
证 货轮处于平衡状态时[图(a)],浮力大小为F =mg.当船上下作微小振动时,取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O,竖直向下为x轴正向,如图(b)所示.则当货
轮向下偏移x位移时,受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力,其方向向上,大小为
F??F??gSx?mg??gSx
题5-6图
则货轮所受合外力为
?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数.这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动. 由
?F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为
22d2x/d2t??gSx/m?0
2令???gS/m,可得其振动周期为
T?2π/ω?2πm/ρgS
k2.5-7 如图(a)所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、当物体在光滑斜面上振动时.(1)
证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振动频率.
题5-7图
分析 从上两题的求解知道,要证明一个系统作简谐运动,首先要分析受力情况,然后看是否满足简谐运动的受力特征(或简谐运动微分方程).为此,建立如图(b)所示的坐标.设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O,Ox轴正向沿斜面向下,由受力分析可知,沿Ox轴,物体受弹性力及重力分力的作用,其中弹性力是变力.利用串联时各弹簧受力相等,分析物体在任一位置时受力与位移的关系,即可证得物体作简谐运动,并可求出频率?.
证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2,则由物体受力平衡,有
mgsin??k1x1?k2x2(1)
?和x2??x2?.?,按图(b)所取坐标,物体沿x轴移动位移x时,两弹簧又分别被拉伸x1即x?x1则
物体受力为
???mgsin??k1?x1?x1??(2) F?mgsin??k2?x2?x2将式(1)代入式(2)得
???k1x1?(3) F??k2x2???F/k1、x2???F/k2,而x?x1??x2?,则得到 由式(3)得x1式中k?k1k2/?k1?k2?为常数,则物体作简谐运动,振动频率
F???k1k2/?k1?k2??x??kx
v?ω/2π?11k/m?k1k2/?k1?k2?m 2π2π 讨论 (1)由本题的求证可知,斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响.事实上,无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂,物体均作简谐运动.而且可以证明它们的频率相同,均由弹簧振子的固有性质决定,这就是称为固有频率的原因.(2)如果振动系统如图(c)(弹簧并联)或如图(d)所示,也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动,且振动频率均为v?12π?k1?k2?/m,读者可以一试.通过这些例
-2
子可以知道,证明物体是否作简谐运动的思路是相同的.
5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅A=2.0 ×10 m,周期T=0.50s.当t=0 时,(1)物体在正方向端点;(2)物体在平衡位置、向负方向运动;(3)物体在x=-1.0×10m处,向负方向运动;(4)物体在x=-1.0×10 m处,向正方向运动.求以上各种情况的运动方程.
分析 在振幅A和周期T已知的条件下,确定初相φ是求解简谐运动方程的关键.初相的确定通常有两种方法.(1)解析法:由振动方程出发,根据初始条件,即t =0 时,x =x0和v=v0来确定φ值.(2)旋转矢量法:如图(a)所示,将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定φ.旋转矢量法比较直观、方便,在分析中常采用.
-2
-2
题5-8图
?1解 由题给条件知A=2.0 ×10 m,ω?2/T?4πs,而初相φ可采用分析中的两种不
-2
同方法来求.
解析法:根据简谐运动方程x?Acos??t???,当t?0时有x0?Acos??t???,
v0??A?sin?.当
(1)x0?A时,cos?1?1,则?1?0;
ππ,因v0?0,取?2?; 22ππ?2(3)x0?1.0?10m时,cos?3?0.5,?3??,由v0?0,取?3?;
33π4π?2(4)x0??1.0?10m时,cos?4??0.5,?4?π?,由v0?0,取?4?.
33(2)x0?0时,cos?2?0,
?2??旋转矢量法:分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图,如图(b)所示,它们所对应的初相分别为?1?0,
?2?ππ4π????,,. 43233振幅A、角频率ω、初相φ均确定后,则各相应状态下的运动方程为
?m? ?2(2)x?2.0?10cos?4πt?π/2??m?
?2(3)x?2.0?10cos?4πt?π/3??m?
?2(4)x?2.0?10cos?4πt?4π/3??m?
?2(1)x?2.0?10cos4πt5-9 有一弹簧,当其下端挂一质量为m的物体时,伸长量为9.8 ×10 m.若使物体上、下振动,且规定向下为正方向.(1)当t=0 时,物体在平衡位置上方8.0 ×10m处,由静止开始向下运动,求运动方程.(2)当t=0时,物体在平衡位置并以0.6m·s的速度向上运动,求运动方程.
分析 求运动方程,也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ.其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质(振子质量m及弹簧劲度系数k)决定的,即??-1
-2
-2
k/m,k可
根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算;振幅A和初相φ需要根据初始条件确定.
题5-9图
解 物体受力平衡时,弹性力F与重力P的大小相等,即F=mg.而此时弹簧的伸长量Δl=9.8 ×10m.则弹簧的劲度系数k=F/Δl=mg/Δl.系统作简谐运动的角频率为
-2
??k/m?g/?l?10s?1
(1)设系统平衡时,物体所在处为坐标原点,向下为x轴正向.由初始条件t =0 时,
x10=8.0 ×10-2 m、v10=0 可得振幅A?可确定初相
2x10??v10/???8.0?10?2m;应用旋转矢量法
2?1?π[图(a)].则运动方程为
x1?8.0?10?2cos?10t?π??m?
2x20??v20/???6.0?10?2m;
2 (2)t =0时,x20=0、v20=0.6 m·s,同理可得A2?-1
物理学教程(第二版)上册第五章课后习题答案详解
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