物理学教程第二版第五章课后习题答案
第五章 机械振动
5-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）
A，且向x轴正方向运2
题5-１图
分析与解（B）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B）． 5-2 一简谐运动曲线如图（a）所示，则运动周期是（ ）
(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s （D）2.00 s
题5-２图
分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A/2，且向x轴正方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为-2π/3．振动曲线上给出质点从A/2 处运动到x=0处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差???则角频率?2??5???，326?Δ?/Δt?5?2?rad?s?1，周期T??2.40s.故选（B）． 6?5-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示， x1的相位比x2的相位（ ） （A）落后
ππ（B）超前（C）落后π（D）超前π 22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（B）．
题5 -３图
5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐运动的相位差为（ ） （A）60（B）90（C）120（D）1803的振幅仍为A.正确答案为（C）．
????
?分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120时，合成后的简谐运动
题5-4图
5-5 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt???π??，式中x的单位为m，t的单位为s.求：4?（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度． 分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
x?Acos??t???作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速
度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．
解 （1）将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得：振幅A＝0.10m，角频率??20πrad?s，初相?＝0.25π，则周期T?2π/ω?0.1s，频率
?1v?1/THz．
（２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10?2m v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s-1 a?d2x/d2t??40π2cos?40π?0.25π???2.79?102m?s-2
5-6 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．
分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力
F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则货轮作简谐运动．通过F??kx即可求得振动周期T?2π/ω?2πm/k．
证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向，如图（b）所示．则当货
轮向下偏移x位移时，受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为
F??F??gSx?mg??gSx
题5-6图
则货轮所受合外力为
?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动． 由
?F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为
22d2x/d2t??gSx/m?0
2令???gS/m，可得其振动周期为
T?2π/ω?2πm/ρgS
k2．5-7 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、当物体在光滑斜面上振动时．（1）
证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．
题5-7图
分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率?．
证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有
mgsin??k1x1?k2x2（1）
?和x2??x2?．?，按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1即x?x1则
物体受力为
???mgsin??k1?x1?x1??（２） F?mgsin??k2?x2?x2将式（1）代入式（2）得
???k1x1?（３） F??k2x2???F/k1、x2???F/k2，而x?x1??x2?，则得到 由式（3）得x1式中k?k1k2/?k1?k2?为常数，则物体作简谐运动，振动频率
F???k1k2/?k1?k2??x??kx
v?ω/2π?11k/m?k1k2/?k1?k2?m 2π2π 讨论 （1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为v?12π?k1?k2?/m，读者可以一试．通过这些例
-2
子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．
5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0 ×10 m，周期T＝0.50ｓ．当t＝0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x＝-1.0×10m处，向负方向运动；（4）物体在x＝-1.0×10 m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．
分析 在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x0和v＝v0来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．
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-2
题5-8图
?1解 由题给条件知A＝2.0 ×10 m，ω?2/T?4πs，而初相φ可采用分析中的两种不
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同方法来求．
解析法：根据简谐运动方程x?Acos??t???，当t?0时有x0?Acos??t???，
v0??A?sin?．当
（1）x0?A时，cos?1?1，则?1?0；
ππ，因v0?0，取?2?； 22ππ?2（3）x0?1.0?10m时，cos?3?0.5，?3??，由v0?0，取?3?；
33π4π?2（4）x0??1.0?10m时，cos?4??0.5，?4?π?，由v0?0，取?4?．
33（2）x0?0时，cos?2?0，
?2??旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为?1?0，
?2?ππ4π????，，． 43233振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为
?m? ?2（2）x?2.0?10cos?4πt?π/2??m?
?2（3）x?2.0?10cos?4πt?π/3??m?
?2（4）x?2.0?10cos?4πt?4π/3??m?
?2（1）x?2.0?10cos4πt5-9 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 ×10 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1）当t＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10ｍ处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2）当t＝０时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s的速度向上运动，求运动方程．
分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即??-1
-2
-2
k/m，k可
根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相φ需要根据初始条件确定．
题5-9图
解 物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl＝9.8 ×10m．则弹簧的劲度系数k＝F／Δl＝mg／Δl．系统作简谐运动的角频率为
-2
??k/m?g/?l?10s?1
（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向．由初始条件t ＝0 时，
x10＝8.0 ×10-2 m、v10＝0 可得振幅A?可确定初相
2x10??v10/???8.0?10?2m；应用旋转矢量法
2?1?π［图（a）］．则运动方程为
x1?8.0?10?2cos?10t?π??m?
2x20??v20/???6.0?10?2m；
2 （2）t ＝０时，x20＝0、v20＝0.6 ｍ·s，同理可得A2?-1
物理学教程（第二版）上册第五章课后习题答案详解
