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试题
__2009___年~__2010___年第 一学期
课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A卷 √ B卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
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一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点x0,x1,x2，其对应的函数y?f?x?的值分别为y0,y1,y2，则二次拉格朗日插值基函数l0(x)为 。
2.设f?x??x2，则f?x?关于节点x0?0,x1?1,x2?3的二阶向前差分为 。
?1?10??2??，x??3?，则A＝ ，x? 。 ?11?13.设A??11???????0?11???3??4. n?1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？??x?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于??x?的不动点？
3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足?1??2??3?明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式P3?x?，满足下列插值条件：
xi yi yi? ??n，请简单说
1 2 2 4 3 3 12 并估计误差。（10分）
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四．试用n?1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I??1（10分） dx。
01?x1五．用Newton法求f(x)?x?cosx?0的近似解。（10分） 六．试用Doolittle分解法求解方程组：
?25?6??x1??10???x???19? （10分） 413?19 ????2??????6?3?6????x3?????30???20x1?2x2?3x3?24?七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组?x1?8x2?x3?12 的迭代格式，并
?2x?3x?15x?3023?1判断其是否收敛？（10分）
?y???y八．就初值问题?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
?y(0)?y0
《数值分析》（A）卷标准答案
（2009－2010－1）
一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. l0?x??(x?x1)(x?x2)； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
(x0?x1)(x0?x2)二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）
对于对称正定阵 A，从aii??i2l可知对任意k ? i 有|lik|?aii。即 L 的元素不ikk?1会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若x*???x*?，则称x*为函数??x?的不动点。 （2分）
（2）??x?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
??x?的不动点：
1）??x?是在其定义域内是连续函数； （2分）
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2）??x?的值域是定义域的子集； （2分） 3）??x?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限?，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算
?vk?r?max?vk?i; 1?i?n并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk- μ |< ?，计算，输出mk,uk；否则，转6； 步6：若k 2 再设p3?x??p2?x??K?x?1??x?2??x?3? （3分） K?2 （1分） p3?x??2x?9x?15x?6 （1分） 321?4?2 f????x?1??x?2??x?3? （2分） 4!1四．解：应用梯形公式得I?I1?? （2分） f?0??f?1????2 ?0.75 （1分） （2）R3?x?? 应用辛普森公式得：I?I2?1?f?0??4f?6???1? （2分） ?f1??????2?? ?0.69444444 （1分） 应用科特斯公式得： I?I4?1?7f?0??32f90???1????12f?4??1????32f?2???3? ?7f1????? （2分） 4??? ?0.6931746 （2分） 五．解：由零点定理，x?cosx?0在(0,由牛顿迭代格式xn?1?xn?取x0??2)内有根。 （2分） n?0,1,...... （4分） xn?cosxn1?sinxn?4得， . word . .
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