高考理科数学复习训练题
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
12
1．函数y＝4x＋的单调增区间为( )
xA．(0，＋∞) C．(－∞，－1)
?1?B.?，＋∞? ?2?
1??D.?－∞，－?
2??
12
B [函数y＝4x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
x8x－1
y′＝8x－2＝2，令y′＞0，得8x3－1＞0.
1
3
xx1
解得x＞，故选B.]
2
2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[2，＋∞)
B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
11
D [由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0xx在(1，＋∞)上恒成立．
11
由于k≥，而0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．]
xx?π??π?3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f??，f(1)，f?－?的大小关系为( ) ?5??3??π??π?A．f?－?＞f(1)＞f??
?3??5??π??π?B．f(1)＞f?－?＞f??
?3??5??π??π?C．f??＞f(1)＞f?－? ?5??3??π??π?D．f?－?＞f??＞f(1) ?3??5?
A [因为f(x)＝xsin x，
所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)．
- 1 -
?π??π??π?所以函数f(x)是偶函数，所以f?－?＝f??.又x∈?0，?时，f′(x)＝sin x＋xcos
2??3??3??
x＞0，所以此时函数是增函数．
?π??π?所以f??＜f(1)＜f??.
?5??3?
?π??π?所以f?－?＞f(1)＞f??，故选A.] ?3??5?
4．已知函数f(x)＝x－ax，在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为( ) A．(1，＋∞) C．(－∞，1]
2
2
3
B．[3，＋∞) D．(－∞，3]
2
B [f′(x)＝3x－a，由题意知3x－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x在(－1,1)上恒成立，又0≤3x＜3，则a≥3，故选B.]
5．(2019·长春模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )
A．ex1f(x2)＞ex2f(x1) B．ex1f(x2)＜ex2f(x1) C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)
D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定 A [设g(x)＝则g′(x)＝
2
fxe
x，
＝
，
f′xex－fxexf′x－fxe
x2
e
x由题意得g′(x)＞0，所以g(x)单调递增， 当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即
fx1fx2
＜， ex1ex2
所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)，故选A.] 二、填空题
6．函数f(x)＝x－2ln x的单调递减区间是________． (0,1) [函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
2
f′(x)＝2x－＝
x22x＋1
xx－1
，令f′(x)＜0得
0＜x＜1，因此f(x)的单调递减区间为(0,1)．]
7．若函数f(x)＝x－ax＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为________． [3，＋∞) [∵函数f(x)＝x－ax＋1在(0,2)内单调递减，∴f′(x)＝3x－2ax≤0在(0,2)内恒成立，
3
2
2
3
2
- 2 -
3
即a≥x在(0,2)内恒成立．
2
33
∵t＝x在(0,2]上的最大值为×2＝3，∴a≥3.]
22
1312
8．已知函数f(x)＝x－ax＋(a－1)x(a∈R)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值
32范围是________．
(－∞，2]∪[5，＋∞) [f′(x)＝x－ax＋a－1＝(x－1)·[x－(a－1)] ∵f(x)是区间(1,4)上的单调函数． ∴a－1≤1或a－1＞4，解得a≤2或a≥5.] 三、解答题
2
xa3
9．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切
4x2
1
线垂直于直线y＝x.
2
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
1a1
[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝－2－(x＞0)，
4xx135
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
244
x53
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
44x2x2－4x－5
则f′(x)＝(x＞0)． 2
4x令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)＜0， 故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0， 故f(x)在(5，＋∞)内为增函数，
综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．
12
10．已知函数f(x)＝x－2aln x＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．
2[解] 函数的定义域为(0，＋∞)， 2ax－2x＋af′(x)＝x－＋a－2＝.
xx - 3 -
x－2
①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝
x2
≥0，f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，
f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减． ③当－a＞2，即a＜－2时，
∵0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．
综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减；当a＜－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．
B组 能力提升
1
1．(2019·惠州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)
2
x1
＜＋的解集为( ) 22
A．{x|－1＜x＜1} C．{x|x＜－1或x＞1}
B．{x|x＜－1} D．{x|x＞1}
x11
D [令φ(x)＝f(x)－－，则φ′(x)＝f′(x)－＜0，∴φ(x)在R上是减函数．∵φ(1)
222
11x1
＝f(1)－－＝1－1＝0，∴φ(x)＝f(x)－－＜0的解集为{x|x＞1}，故选D.]
2222
2．(2017·山东高考)若函数ef(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2 C．f(x)＝3
x－x－xxB．f(x)＝x D．f(x)＝cos x
x2
A [若f(x)具有性质M，则[ef(x)]′＝e[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．
对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B，C，D均不符合题意． 故选A.]
3．(2019·合肥模拟)已知f(x)＝e－e＋x－sin x(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x－x)＜f(x＋3)的解集为________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞) [由已知得，f(－x)＝e－e－x＋sin x＝－f(x)，所以函数
x??f(x)是奇函数，又f′(x)＝－e－x－ex＋1－cos x，－e－x－ex＝－?x＋e?≤－2，所以f′(x)
x－x2
－x－x－x－xx1
?e
?
- 4 -
＜0恒成立，所以f(x)是R上的减函数，所以f(x－x)＜f(x＋3)，即x－x＞x＋3，所以x222
－2x－3＞0，所以x＜－1或x＞3.]
4．(2019·新乡模拟)已知函数f(x)＝ex－x2
＋2ax. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围． [解] (1)∵当a＝1时，f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e， 又f(1)＝e＋1，
∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0. (2)f′(x)＝ex－2x＋2a，
∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立， xx∴a≥x－e2在R上恒成立，令g(x)＝x－e
2，
x则g′(x)＝1－e
2
，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，
在(－∞，ln 2)上，g′(x)＞0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)＜0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1， ∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞)．
- 5 -
高考理科数学练习训练题导数与函数的单调性含解析理
