1.3分段插值与样条函数
?x3?x21、（p.56，习题33）设分段多项式 S(x)??32?2x?bx?cx?1是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点
函数值连续：
0?x?1
1?x?2S?(1)?13?12?2?13?b?12?c?1?1?S?(1)，
(1) 即：b?c?1'22'
一阶导数连续： S?(1)?3?1?2?1?6?1?2?b?1?c?S?(1)，
(2)
解方程组（1）和（2），得b??2,即：2b?c??1c?3，即
导数亦连续。
?x3?x20?x?1S(x)??3 21?x?2?2x?2x?3x?1''''由于S?(1)?3?2?1?2?6?2?1?2?2?S?(1)，所以S(x) 在x=1节点的二阶
2、 已知函数y?1 的一组数据，x0?0,x1?1,x2?2和y0?1,y1?0.5,y2?0.2，
1?x2（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。
【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得
S1(x)?x?x0x?x1x?1x?0y0?y1??1??0.5??0.5x?1；
x0?x1x1?x00?11?0x?x2x?x1x?2x?1y1?y2??0.5??0.2??0.3x?0.8
x1?x2x2?x11?22?11S2(1.5)??0.3?1.5?0.8?0.35，?0.30769230769?，而
1?1.52
S2(x)?（2）f(1.5)?实际误差为：|f(1.5)?S2(1.5)|?0.0423??0.05。
由f(1)?2x(x)?,22(1?x)f(2)?2(1?3x2)(x)?,23(1?x)f(3)24x(1?x2),可(x)?24(1?x)知M2?f(2)(1)?0.5，则余项表达式
M|f(2)(?)|R(x)?|(x?1)(x?2)|?2?0.52?0.54?0.0625?0.5
2!2!
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
?2x?4y?11?3x?5y?3? ?x?2y?6???2x?y?7Q(x,y)?(2x?4y?11)2?(3x?5y?3)2?(x?2y?6)2?(2x?y?7)2，
【解】 构造残差平方和函数如下：
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
?Q(x,y)?0： 6x?y?17?x?Q(x,y)?0： ?3x?46y?48?y解方程组（1）和（2），得
(1)， (2)，
6?48?3?17?1.24176
2732
x?46?17?48?3.04029,273y?2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如y?a?bx 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令X?x2，则y?a?bX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得
555?25a?b?Xi?5a?b?xi??yi(1)??i?1i?1i?1?555555224?a?Xi?b?Xi?a?xi?b?xi??Xiyi??xi2yi?i?1i?1i?1i?1i?1?i?1 ；
(2) 依据上式中的求和项，列出下表 xi 19 25 31 38 44 yi 19 32.3 49 73.3 97.8 Xi (=xi2) 361 625 961 1444 1936 Xi2(=xi4) 130321 390625 923521 2085136 3748096 ∑
157 271.4 5327 7277699 Xi yi (=xi2yi) 6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得
5a0?5327b?271.4???5327a0?7277699b?369321.5a?(1)(2)
271.4?7277699?369321.5?53277791878.1??0.97258；
5?7277699?5327?53278011566
b?5?369321.5?5327?271.4400859.7??0.05004；
5?7277699?5327?532780115662即：y?0.97258?0.05004x。
2.1 机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公
式所具有的代数精度：
(1)?f(x)dx?A0f(?h)?A1f(0)?A2f(h)；
?hh1113(2)?f(x)dx?A0f()?A1f()?A2f()；
042411 (3)?f(x)dx?f(0)?A0f(x0)。
042【解】 （1）令f(x)?1,x,x时等式精确成立，可列出如下方程组：
?(1)?A0?A1?A2?2h?(2) ??A0?A2?0?2A?A?h(3)2?03?hh4h 解得：A0?A2?,A1?h，即：?f(x)dx?[f(?h)?4f(0)?f(h)]，可以
?h33334验证，对f(x)?x公式亦成立，而对f(x)?x不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
2（2）令f(x)?1,x,x时等式精确成立，可列出如下方程组：
?A0?A1?A2?1??A0?2A1?3A2?2?3A?12A?27A?1612?0(1)(2)
(3)1211113解得：A0?A2?,A1??，即：?f(x)dx?[2f()?f()?2f()]，可以
033342434验证，对f(x)?x公式亦成立，而对f(x)?x不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
3?A??04（3）令f(x)?1,x时等式精确成立，可解得：?
2?x0?3?11322即： ?f(x)dx?f(0)?f()，可以验证，对f(x)?x公式亦成立，而对
0443f(x)?x3不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
1132、（p.95，习题6）给定求积节点x0?,x1?, 试构造计算积分I??f(x)dx的插值型
044求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
【解】依题意，先求插值求积系数：
311x?x13214?dx??2?(x?x)?1； A0???dx??0x?x013240201?4411x?1x?x11104?dx?2?(x2?x)?1； A1???dx??0x?x031240210?44x?1插值求积公式：
1?
0f(x)dx??Akf(xk)?k?0n1113f()?f() 2424①当f(x)?1，左边=
?1011f(x)dx?1；右边=?1??1?1；左=右；
22 ②当f(x)?x，左边=
??101f(x)dx?x221?01111131；右边=????；左=右；
242422
③当f(x)?x，左边=
2101111195f(x)dx?x3?；右边=?左≠右； ???；
30321621616故该插值求积公式具有一次代数精度。
2.2 梯形公式和Simpson公式
1、（p.95，习题9）设已给出f(x)?1?ex f(x) 0.00 1.000 00 0.25 1.655 34 1?xsin4x的数据表，
0.50 1.551 52 0.75 1.066 66 1.00 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I?【解】 （1）用复化梯形法：
?0f(x)?dx的近似值。
b?a1??0.25n4n?1n?1hhT5??[f(xk)?f(xk?1)]?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]2k?02k?10.25T5??{f(0.00)?2?[f(0.25)?f(0.50)?f(0.75)]?f(1.00)}
2T5?0.125?[1.00000?2?(1.65534?1.55152?1.06666)?0.72159]a?0,b?1,n?5,h?T5?1.28358
（2）用复化辛普生法：
a?0,b?1,n?2,h?n?1b?a1??0.5n2n?1n?1hhS2??[f(xk)?4f(x1)?f(xk?1)]?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]k?k?6k?06k?0k?1220.5?{f(0.00)?4?[f(0.25)?f(0.75)]?2?f(0.50)?f(1.00)}61S2??[1.00000?10.888?3.10304?0.72159]?1.3093912S2?
2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分I?1x?5edx，为使截断误差不超过，?10?021x问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？
【解】（1）用复化梯形法， a?0,b?1,f(x)?f'(x)?f''(x)?e，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：
(b?a)3(1?0)3|RT|?|I?Tn|?maxf''(?)?e；
12n212n3依题意，要求|RT|?1?10?5，即 2e1e?105?52??10?n??212.849，可取n?213。
612n22（2）用复化辛普生法， a?0,b?1,f(x)?f'(x)?f''''(x)?e，截断误差表达式为：
x(b?a)5(1?0)5e； |RS|?|I?Sn|?maxf''''(?)?e?444180(2n)2880n2880n依题意，要求|RS|?1?10?5，即 2e1e?105?54??10?n??3.70666，可取n?4，划分8等分。 4214402880n
2.3 数值微分
1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
1[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]2h1f'(x1)?[?f(x0)?f(x2)]2h1f'(x2)?[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]2hf'(x0)?(51)(52) (53)
数值分析简明教程第二版(王超能)习题答案24页全解word版[1]
