中山大学2024年数学分析真题
题目
一、解答下面各题（每小题1.2.3.4.5.6.
)求极限：lim(1+tan??
??→０
9分，共54分）
2024??
。
′-1-1′′
??(??)≠0且存在??=??(??)，求(??)(??)。
若已知函数??(??)的二阶导数存在，求极限：lim(??+
??→∞
231
1??+1
+···)。2??
2
2
2
????
|。????(1,1,1)
1
设??(??,??)=????(??,??)满足 ??+??+??=3????????，函数??，求计算?√(√??+√??)????????。??+√??≤１
计算∮??????????+(??+??)????+(??+??+??)????，其中L为曲面??+??+z=5与曲面????=1+??+??的交线，从z轴正向看过去时顺时针方向。
2
2
222222
二、（10分）判断级数
(-1)??∞
∑??=2的收敛性。√??+(-1)??
2
2
2
三、（10分）求??(??,??,??)=??????在约束条件??+??+z=1与??+??+??=0下的极值。四、（10分）证明：
1∞
∑??=12
??+1
<
12
+
??4
。
lim??(??)与lim??(??)存在，证明
??→+∞
五、（10分）设??(??)在(-∞，+∞）上连续，且
(-∞，+∞）上一致连续。
??→-∞
(??)在??
(??)在(??六、（20分）??0-1,??0+1)上连续，在(??0-1,??0)∪(??0,??0+1)上可导，且
??→??0
′′′
lim??(??)=??。证明：??(??。0)存在，且??(??0)=??
七、（10分）求级数∑(1+
1
+···+??)??的收敛域。2
1
??
??-??
(??)=??+??+2cos??的极值。八、（10分）求??
(??)=??????????九、（10分）判断??在[0,+∞）上的一致连续性。十、（10分）讨论十一、
??
??∞
∑n=2在[0,1)????????
1
4
上的一致收敛性。
????-1
∑??=0??(??+??)。证明：n1
（6分）设??：??→??的连续函数，??(??)=????(??)在任意有??
限区间(??,??)上一致收敛。{??(??)}在(-∞，+∞）上一致收敛吗？若不能，请举出反例。??
参考答案
一、1.2.
11)=(??)(??=′
??????(??)????
-1
′
??→０
lim(1+tan??)=1，lim
2024tan??
??
??→０
=2024，故lim(1+tan??)
??→０
2024
??
=??
2024
。
1??′??′????′′
)′??(??)??(??)??(??′′
(??)??)??????????????(??-1′′
)=-(??)(??=-=-′2=-′2′2′
[??(??)][??(??)][??(??)][??(??)]3
3.
??→∞??
lim
1
=0，故lim(??+
??→∞
11??+1
+···)=lim(??+1+2??
??→∞
111??+2
+···)=2??
1
111????
lim∑??=1??+??=lim∑??=??=1??→∞??→∞1+??
??
=ln2∫01+??
1????
4.
(??,)=??+??+??=3??????令????,??，则??，??-3????，??-3????，??=2??-3??????=2????=2??都是连续的，-(1,1,1)??????(1,1,1)??
222
(1,1,1)=-1，???????(?1,1,1)=-1≠0，由隐函数存在定理，
????
|()????1,1,1
=
23
(??,)=????=-1。??????，故
????2322????????|(1,1,1)=-2=????3??????，
????????????
5.
区域{(??,??)|√??+√??≤1}关于直线??=??是对称的，故
1
(1-√??)0
2
10
?
(√??)????????=?
??+√√??≤１
1
(√??)????????=∫√??????∫
??+??≤１√√
0
????=∫√??(1-√??)????1
2
=∫√??(1-2√??+??)????=
0
23
-1+
25
=
15
故?√??+√??≤１(√??+√??)????????=15
6.
联立两曲
2
2
2
面方程，可得
??+??+z=5
{22，求解，可得??=1+??+??
222
{??+??=1，记Σ为圆面
??=2
22
??+??≤1
{，方向与L的方向符合右手定则，取下侧，由斯托克斯公式，
??=2
??????????????????????????????222
∮??????????+(??+??)????+(??+??+??)????=?||
??????????????Σ
222????????+????+??+??
=?=-?
2
22
????????+(????-1)????????+(2??-????)????????Σ
2+??2≤１??
(2??
轮换对称性
??????????2?22=??+??≤１
2
奇偶性
-2??)????????2?
=
2
2
??+??≤１
22
??????????
2
1
=?(??+??)????????=??
2+??2≤１2??
二、
(-1)
+∞n=2
??
??
??+(-1)√
{
1√
=
(-1)
??
??√
+
(-1)
??
??
??+(-1)√
-
(-1)
??
??√
，
(-1)
??
}??
为严格单调递减趋于
(-1)
??
??
0的正数列，由莱布尼兹判别法，-(-1)
??
∑∞??=2
√??
收敛。
√??+(-1)
1∞
∑发散，故??=2??
√??
=-
1[√??+(-1)]
??
~-
1n
，??→∞，
(-1)??
∞∑??=2[-(-1)??√??+
(-1)????√
]发散，故
(-1)??
∞∑??=2发散。??+(-1)??√
三、
222
)|??记??={(??,??,??+??+??=1,??+??+??=0}，则G为一个有界闭集，连续函数
(??,????,?)?=??????在有界闭集G上必有最大值和最小值。
(??,)=??????(??+??+z-1)+??(??令????,??,??,??+??+??+??)，令
????=????=????=????=????=0，
(1)????+2????+??=0···
(2)????+2????+??=0···
+2????+??=0···(3),(1)+(2)+(3),可得????有????+????+????+2??(??+??+??)+3??=222
(4)??+??+??=1···(5){??+??+??=0········0，由(5)，??+??+??=0，故????+????+????+3??=0，即??=-????+????=
(??+??+??)2-??2-??2-??2
2
16
1616
????+????+????
3
2
2
2
。由(4)和(5)，????+
=-
12
，故??=
16
，代入前三个方程，可得
????+2????+????+2????+{
????+2????+
2
=0···(1)
(2)。(1)中乘??=0···，(2)中乘??，(3)中乘z，可得(3)=0···
16
1616
??????+2????+??????+2????+{
??????+2????+
22
(1)??=0···
??=0···(2)，于是，2????+(3)??=0···
2
16
??=2????+
2
16
??=2????+
2
16
??=-??????，
于是，??,??,?中?至少有两个是相同的。有且只有两个相同。
由于??,??,??满足(4)和(5)，故??,??,?不?全相等，即??,??,??
1√6
1√62√6
1√6
1
??=
2??+??=1···(4)
如果??=??，代入(4)和(5)，可得{，求解，可得
(5)2??+??=0······
16√
2√61
16√2√61
26√1√616√
2
2
??=-或??=-{??=
26√
1
??==-{??
6。√2√6
??=
如果??=??，可得
??=-
??=-或
??=
??=-；如果??=??，可得
{2
1??=??=
??=或??=-{??=-
??=√6??=-√
6{{
了所有可疑的条件极值点，而最值点就在其中。
??(
16√6√16√
,-,1,-26√1,)=??(2
16√
,-216√6√,2,-,1)=??(-16√
√6
16√
。这就求出
6√6√6√26√
,-16√
,,
1
)=-,-16√
13√6)=
，
13√6
??(-因此，-四、
∞13√6
6√6√
)=??(-
6√6√
13√6
)=??(
，
为最小值，也是极小值；为最大值，也是极大值。
∑
??=1
1??+1
2
=
12
∞
+∑
??=2
1??+1
+∞2
=
121
∞
????-1
2
+∑∫
??=2
1??+1??4
????<
12
∞
????-1??
2
+∑∫
??=2
1+1
????
=
五、
??→-∞
12
+∫
1
??+1
2
????=
12
+
lim??(??)与lim??(??)存在，由柯西收敛准则，对任意??>0，存在??
??→+∞
12
(-∞，]和??,(??)-??(??)|<任意??,??????????[??,+∞），恒有|??
??。??(??)在(-∞，+∞）上连续，故
????(0,??-??)，使得对任意
??(??)在[??,??]上连续，故??(??)在[??,??]上一致连续，故存在??,????[??,??]，只要|??-??|
12
??。任取??
12
|??-??|
12
(-∞，],????[??,|≤|??(??)-??(??)|+|??(??)-??(??)|<若????????]，则|??(??)-??(??)
12
??+
??=??,
若????[??,??],????[??,+∞)，则|??(??)-??(??)|≤|??(??)-??(??)|+|??(??)-??(??)|<
12
??+
12
??=??,
|
在(-∞，+∞）上一致连续。六、
??(??)在(??0-1,??0+1)上连续，在(??0-1,??0)∪(??0,??0+1)上可导，且
??→??0
lim??(??)=??。
′
任取????(??=????0-1,??0)∪(??0,??0+1)，由拉格朗日中值定理，存在??0+(1-)????，????(0,1)，使得
′
(??)-??(????0)
??-??0′
′′′
)。lim??(??)=??(??)=??≠=??(??，而lim??0，??
??→??0
??→??0
(??)-??(????0)
??-??0
??)=lim??(??)=??，故lim0，故lim??(??
??→??0
??→??0
??→??0
′′
=lim??(??)=??，故??(??0)存在，??→??0
。且??(??0)=??七、
1≤√１+·+
1
??
??
′
12
+···+??≤√?? ,??→∞，故lim√１+
??→∞
111
1
??
??
12
+···+??=1，故级数∑(1+
112
+··
??
)??的收敛半径为
1
=1。级数在??=±１处的通项为无穷大量，故在??=±１处发散，
??
故级数∑(1+八、
+···+??)??的收敛域为(-1,1)。2
′??-??′′′??-??
??(??)=??)=??-??-2sin??，??(0)=0，??(??+??-2cos??≥2-2=0，且不
等式取得等号当且仅当九、
′′′
??=0，故??(??)严格单调递减，故??<0时，)<0，)>??(????>0时，??(??
(0)=4。0，故??(??)在??=0取得极小值??
我们首先给出如下结论：
假设??(??)为区间??上的一致连续函数，则致有界，这个界只与
??有关。
??(??)在??的任何长度为常数
??的子区间上振幅一
|≤??|≤??(??)一致连续，故存在??>0，使得对任意??,??????，只要|??-??，就有|??(??)-??(??)1。任取子区间??以及??
|??(??)-??(??)|≤|??(??+??)-??(??)|+|??(??+2??)-??(??+??)|+···+|??(??+[??(??+[
??-????
??-????
]??)-
]??-??)|+|??(??)-??(??+[
??-????
]??)|≤[
??-????
]+1≤[
|??1|??
]+1
故??(??)在??1上的振幅一致有界，这个界仅与??1长度有关。
4444
回到本题，取????=????，????=????+1，则????-????≡1，但
1
1)4|11)4
11)4
4444
(??)|=|(??|??(??)-????+1)sin(????+????
=(????+1)|sin[(????+
1
1
4
4444
-????]|~????[(????+
1
4444
????
-????]~????[(1+44)-1]~????→+∞，??→∞44=????4????4
5
5
5
5
1
4在[0,+∞）故??(??)=??sin??上不一致收敛。
十、
∞
假设∑n=2
????
????????
在[0,1]上一致收敛，则对任意ε>0，存在??>0，使得对任意??≥??>
中山大学考研数学分析2024年真题及答案
