?an?
?的前n项和． (1)求{an}的通项公式；(2)求数列?
?2n＋1?
[解析] (1)∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① ∴n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－1)an－1＝2(n－1)，② ①－②得，(2n－1)an＝2，an＝又n＝1时，a1＝2适合上式， 2
∴an＝；
2n－1(2)由(1)
an211
＝＝－， 2n＋1(2n－1)(2n＋1)2n－12n＋1
2
， 2n－1
a1a2an1111112n∴Sn＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝．
353352n＋12n－12n＋12n＋12n＋1
18．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15) 2 [15，20) 16 [20，25) 36 [25，30) 25 [30，35) 7 [35，40) 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[解析] (1)需求量不超过300瓶，即最高气温不高于25℃，从表中可知有54天， 543
∴所求概率为P＝＝．
905(2)Y的可能值列表如下：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) Y 300 900 900 900 －100 －100 低于20℃：y＝200×6＋250×2－450×4＝－100； [20，25)：y＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25℃：y＝450×(6－4)＝900， 2161
∴Y大于0的概率为P＝＋＝．
90905
19．(本小题满分12分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
[解析] (1)证明：取AC中点O，连OD，OB， ∵AD＝CD，O为AC中点，∴AC⊥OD， 又∵△ABC是等边三角形，∴AC⊥OB，
又∵OB∩OD＝O，∴AC⊥平面OBD，BD?平面OBD， ∴AC⊥BD；
(2)设AD＝CD＝2，∴AC＝22，AB＝CD＝22，
又∵AB＝BD，∴BD＝22，∴△ABD≌△CBD，∴AE＝EC， 又∵AE⊥EC，AC＝22，∴AE＝EC＝2， 在△ABD中，设DE＝x，根据余弦定理
AD2＋BD2－AB2AD2＋DE2－AE222＋(22)2－(22)222＋x2－22cos∠ADB＝＝＝＝，
2AD·BD2AD·DE2×2×x2×2×22VD－ACE
解得x＝2，∴点E是BD的中点，则VD－ACE＝VB－ACE，∴＝1．
VB－ACE
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
[解析] (1)设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的根， ∴x1＋x2＝－m，x1x2＝－2，
→→则AC·BC＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0， ∴不会能否出现AC⊥BC的情况．
(2)解法一：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心E(x0，y0)， x1＋x2x1＋x2x1＋x2?2m2则x0＝＝－，由|EA|＝|EC|得?－x1?2＋y02＝?22?2??2?＋(y0－1)，
1＋x1x21
化简得y0＝＝－，
22
m1m1
∴圆E的方程为?x＋?2＋?y＋?2＝?－?2＋?－－1?2，
?2??2??2??2?
令x＝0得y1＝1，y2＝－2，∴过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为1－(－2)＝3， ∴过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 解法二：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，
由x1x2＝－2可知原点O在圆内，由相交弦定理可得|OD||OC|＝|OA||OB|＝|x1||x2|＝2， 又|OC|＝1，∴|OD|＝2，
∴过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x． 3
(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2．
4a2ax2＋(2a＋1)x＋1(2ax＋1)(x＋1)
[解析] (1)f′(x)＝＝(x>0)，
xx当a≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)单调递增，
11
当a<0时，则f(x)在(0，－)单调递增，在(－，＋∞)单调递减．
2a2a1
(2)由(1)知，当a<0时，f(x)max＝f(－)，
2a
13111
f(－)－(－＋2)＝ln(－)＋＋1，令y＝lnt＋1－t(t＝－>0)，
2a4a2a2a2a1
则y′＝－1＝0，解得t＝1，
t
∴y在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， ∴ymax＝y(1)＝0，∴y≤0，即f(x)max≤－(
33
＋2)，∴f(x)≤－－2． 4a4a
(二)选考题：共10分．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4―4坐标系与参数方程：
???x＝2＋t
?在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为?m?y＝kt?y＝
?
k
为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
(1)写出C的普通方程；
x＝－2＋m
(m
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解析] (1)将参数方程转化为普通方程
1
l1：y＝k(x－2)……①；l2：y＝(x＋2)……②
k
由①②消去k可得：x2－y2＝4，即P的轨迹方程为x2－y2＝4； (2)将参数方程转化为一般方程l3：x＋y－2＝0……③
32x＝??x＋y－2＝0?x＝ρcosθ2
联立l和曲线C得?，解得?，由?，解得ρ＝?y＝ρsinθ2?x－y＝4
?y＝－2
3
2
2
5，
即M的极半径是5．
23．(本小题满分10分)选修4—5不等式选讲： 已知函数f(x)＝|x＋1|–|x–2|． (1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2–x＋m的解集非空，求m的取值范围．
??－3，x≤－1
[解析] (1) f(x)＝|x＋1|–|x–2|可等价为f(x)＝?2x－1，－1 ??3，x≥2 ①当x≤－1时显然不满足题意； ②当－1 ③当x≥2时，f(x)＝3≥1恒成立．综上，f(x)≥1的解集为{x|x≥1}． (2)不等式f(x)≥x2－x＋m等价为f(x)－x2＋x≥m， 令g(x)＝f(x)－x2＋x，则g(x)≥m解集非空只需要[g(x)]max≥m． －x2＋x－3，x≤－1?? 而g(x)＝?－x2＋3x－1，－1 ??－x2＋x＋3，x≥2 ①当x≤－1时，[g(x)]max＝g(－1)＝－3－1－1＝－5； 3335 ②当－1 224?2?③当x≥2时，[g(x)]max＝g(2)＝－22＋2＋3＝1． 55 综上，[g(x)]max＝，故m≤． 445 ∴m的取值范围为 (－∞，]． 4
2017年高考新课标3卷文科数学试题（解析版）
