空间向量及其运算和空间位置关系
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，
z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选A a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1
―→―→―→―→
的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
1111
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
22221111
C．－a－b＋c D.a－b＋c
2222
111―→―→―→―→1―→―→
解析：选A BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
2222―→―→―→―→
3．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC (x，
y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件 C．充要条件
―→―→―→―→―→―→解析：选B 当x＝2，y＝－3，z＝2时，OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO―→―→―→―→―→―→―→―→
＝2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2AC，根据共面向量定理
1
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
―→
知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设AP―→―→―→―→―→―→―→―→―→＝mAB＋nAC (m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1―→―→―→
－m－n)OA＋mOB＋nOC，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )
A．9 C．－3
B．－9 D．3
解析：选B 由题意设c＝xa＋yb，则(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴
?2x－y＝7，?x＋2y＝6，
?－3x＋3y＝λ，
解得λ＝－9.
―→―→―→
5．(2019·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为( )
A．±
6 66 6
B．
6 6
C．－D．±6
―→―→
解析：选C OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝666
.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－. 666
λ＋λ1
＝－，得2
21＋2λ·2
λ＝±
―→―→―→―→―→―→
6．在空间四边形ABCD中，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC的值为( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
―→―→―→
解析：选B 法一：如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c， ―→―→―→―→―→―→则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC
―→―→―→―→―→―→―→―→＝AB·(AD－AC)＋AC·(AB－AD)＋AD·(AC－―→AB)
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
2
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a ＝0.
法二：在三棱锥A-BCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直． ―→―→―→―→―→―→
所以AB·CD＝0，AC·DB＝0，AD·BC＝0. ―→―→―→―→―→―→
所以AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝0.
7．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于________．
―→―→
解析：设AD＝λAC，D(x，y，z)， 则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)， ∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ， ∴D(1,4λ－1,2－3λ)， ―→
∴BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，
912?4―→?－4，，?， 解得λ＝－，∴BD＝?
55?5?―→
∴|BD|＝ 答案：5
―→―→
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD―→―→
＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD―→―→
的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．
―→―→
解析：∵AP·AB＝－2－2＋4＝0， ∴AP⊥AB，故①正确；
―→―→
AP·AD＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD，故②正确； 由①②知AP⊥平面ABCD， 故③正确，④不正确． 答案：①②③
9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，
－4
2
?9??12?＋??2＋??2＝5. ?5??5?
BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基底{OA，OB，OC}表示向量OG，
―→―→―→―→―→―→
3
空间向量及其运算和空间位置关系 练习题
