江苏省 2015 年高职院校单独招生
文化联合测试试卷
数学及答案
参考公式：
1
锥体的体积公式为V ? Sh ，其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高.
3
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.若集合 A ? {1,2,3} ， B ? {1,4, m}，且 A ? B ? {1,3} ，则m 的值为（ ） A.1； 【答案】C；
B.2；
C.3；
D.4
2. 已知i 为虚数单位， a ? bi ? (2 ? i)i ， a,b ? R ，则ab 的值为（ ）
A. ? 1； 【答案】B；
B. 2 ； C. ? 1； D.1
3. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，其产量之比为 2:3:6.现用分层
抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，若样本中甲种型号的产品有 24 件，则n 的值为（ ） A. 44 ； 【答案】D；
4. 抛物线 y2 ? ?8x 的焦点坐标为（ ）
B. 88 ； C.120 ； D.132
A.(2,0)； 【答案】C；
B.(4,0)； C.(-2,0)； D.(-4,0)
5. 如图， 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， 异面直线 AD1 与 BD 所成角的大小为
（ ）
B. 45?；
C. 60? ；
D. 90??
A. 30? ；
?
1
【答案】C； ?
?
6. 已知函数 y ??f (x) 的图象如图所示，则不等式 f (x ? 2) ? 0 的解集是（
）
A. (?3,1) ； B. (??,?3) ? (1,??) ； C. (?1,3) ； D. (??,?1) ? (3,??) 【答案】A；
7. 若“ x ? a ”是“ x ? ?1”的充分不必要条件，则a 的值可以是（
）
A. ? 8 ； 【答案】D；
3
B. ? ；
2
C. ? 1；
1
D. ? 2
）
3 2? n ? 20n ? 4 ，则该数列的最小项等于（ 8. 若数列{an }的通项公式是an
2
188 125 A. ? ； B. ? ； C. ? 62 ； D. ? 60
3 2 【答案】B；
9. 我国 2014 年 10 月 24 日发射了嫦娥五号“探路者”，其服务舱与返回器于 2014
年 11 月 1 日分离，然后服务舱拉升轨道开展拓展试验，首先完成了远地点 54 万公里、近地点 600 公里的大椭圆轨道拓展试验(注：地球半径约为 6371 公里)， 则该大椭圆（
）
B.离心率接近于 1，形状比较圆； D.离心率接近于 0，形状比较圆
A.离心率接近于 1，形状比较扁； C.离心率接近于 0，形状比较扁； 【答案】A；
10. 已知 y ??f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 当 x ? 0 时， f (x ? 3) ??f (x) ， 且
x ?[0,3)
时， f (x) ? log 2 (x ? 1) ，则 f (?2016) ? f (2015) 的值等于（
）
A. 3 ； 【答案】C；
B. log2 6 ； C. log 2 3 ；
D.1
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11. 根据如图所示的流程图，若输入 x 的值为3 ，
则输出 y 的值是 .
2
【答案】8；
12. 已知某运动员在一次射击中，射中 10 环、
9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.24、0.28、0.19、0.16、0.13， 则该运动员在一次射击中，至少射中 8 环的概率是 【答案】0.71；
13. 如图，海岸线上 A 处是一个码头，海面上停
.
泊着两艘轮船，甲船位于码头 A 的北偏东75? 方向的 B 处，与 A 相距3 海里；乙船位于码头A 的南偏东45?方向的C 处，与 A 相距8 海里， 则两船之间的距离为 【答案】7；
海里.
（第 13 题）
?
2
x2 ? y??
x ? ? ??
1 ?和直线 l： y 9 0 ．在 l 上取点 M， 10．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 12 3
经过点 M 且与椭圆 C 有共同焦点的椭圆中， 长轴最短的椭圆的标准方程为 ▲
2
x2 ? y??
10．答案： 1
45 36
14. 与 x 轴垂直的动直线l 分别与函数 y ? x 和 y ? ? 的图象相交于点 P 和Q ，则
3
x
线段 PQ 长的最小值为
.
【答案】2 3 ；
15. 在平面直角坐标系 xOy 中， A(1,0) ， B(0,2) ， 点 P 在线段 AB 上运动， 则
OP ? AP
的取值范围为 .
1
【答案】[??,4].
20
三、解答题（本大题共 5 小题，共 40 分，解答时写出步骤）
? ?
16.（满分 6 分）设向量a? (cos x , sin x) ， b ? (1 ， 3) .
? ? ? ?
（1）若 ，求tan x 的值；（2）求 f (x) ? a? 的最大值及对应 x 的值.
a // b b
? ?? ?
b ? (1 ， 3) ， 【解答】（1）因为 a ?// b ， a? (cos x , sin x) ，
3
所以1? sin x ? 3 ? cos x ? 0 ， ............................................1 分
即sin x ??3 cos x ，所以tan x ??3 . ……………………2 分 ?
（2） 函数 f (x) ? a? ? ?b ? cos x ??3 sin x ……………………3 分
? 2( 1 cos x ? 3 sin x) ? 2cos(x ? 2 3
)， ...............................4 分
2
所以 f (x)max ? 2 ， ............................................................... 5 分
此时 x ? ? 2k，即 x ? 2k? ， (k ? Z ) .......................... 6 分
3 3
17.（满分 6 分）如图，在正四棱锥 P ? ABCD 中，
O 为底面 ABCD 的中心， E 为线段 PA 的中点.
（1） 求证： OE // 面PCD ；（2）若 PC ? AC ? 4 ，
求正四棱锥 P ? ABCD 的体积. 【证明】（1）∵正四棱锥 P ? ABCD ，
∴ ABCD 是正方形，∴ O 为 BD 的中点，
又∵ E 为 PA 的中点，∴ OE // PC ， ........................................1 分 ∵ OE ? 面PCD ， PC ? 面PCD ，
∴ OE // 面PCD ............................................................................ 3 分
（2） ∵正四棱锥 P ? ABCD ，
∴ PA ? PC ， PO ? 面 ABCD ，
又∵ PC ? AC ? 4 ，∴ ?PAC 是正三角形，
∴ PO ? 2 3 ， AO ? 2 ， ........................................................... 4 分
∵ ABCD 是正方形，∴ AB ? 2 2 ，
∴ S ABCD ? AB 2 ? 8 ， ...................................................................5 分
∴VP?? 1
? S ? PO ? 16
ABCD
3 ................................................ 6 分
3 ABCD 3
4
18.（满分 8 分）已知以C(?2,0) 为圆心的圆与直线 x ? y ? 4 ? 0 相切.
（1）求圆C 的方程； （2）若 A(a,0) , B(b,0) ( a ? b )是定点，对于圆C 上
的动点 P(x, y) ，恒有 PA2 ? PB 2 ? 38 ，求a, b 的值.
【解答】（1）圆C 的的半径为r ?
| ?2 ? 0 ? 4 | 1 ? 1
2
2
? 3 2 ，................1 分
所以圆C 的方程为(x ? 2)2 ? y2 ? 18 ........................................3 分 （2）因为 PA2 ? PB 2 ? 38 ，
所以(x ? a)2 ? y2 ? (x ? b)2 ? y2 ? 38 ，
即2x2 ? 2 y2 ? 2(a ? b)x ? a2 ? b2 ? 38 ? 0 ， ① ........................5 分
又因 P(x, y) 在圆C 上，所以(x ? 2)2 ? y2 ? 18 ， ................... 6 分
即 y2 ? 14 ? x2 ? 4x ，代入①得
? (4 ? a ? b)x ? a2 ? b2 ? 10 ? 0 恒成立， ................................... 7 分
?a ? b ? 4 ? 0 所以?2，2
a ? b ? 10 ? 0 ??
又a ? b ，求得a ? ?3 ， b ? ?1 ....................................................8 分
17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30m 的围墙．现有两种方案：
方案①多边形为直角三角形 AEB（∠AEB=90°），如图 1 所示，其中 AE+EB=30m； 方案②多边形为等腰梯形 AEFB（AB＞EF），如图 2 所示，其中
AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面
积最大的方案．
【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．
【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为 S1，S2，根据基本不等式求出 S1 的最大值，用导数求出 S2 的最大值，比较即可．
【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为 S1，S2，
5
江苏省2015年高职院校单独招生文化联合测试数学及答案(word版)(可编辑修改word版)
