一维势垒中的透射系数
利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.
一维方势垒
势垒模型
在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该
怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。
在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E大于势垒高度u0 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于u0的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。
下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于U(x)是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式：
h22???U??E? ?2m在量子力学里, 必须知道波函数?, 因此必须要解薛定谔方程
h2?2?ih???U?? ?
2m?x2?t一维散射问题是一个非束缚态问题(U(x)与时间无关, 而E是正的).因此令
?(x,t)??(x)e
E?ith
由此得到
h2d2??U??E? ?2mdx2
按照势能U(x)的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式
d2??k2??0 2dx
U(x)???u0,0?x?a;x?a. ?0,x?0,先讨论E?u0的情形
粒子满足薛定谔方程分解为三个区域：
???h2d2?1(x)?E??2mdx21(x),x?0???h2d2 ?2(x)?u0?2(x)?E?2(x),0?x??2mdx2a ??h2d2??2mdx2?3(x)?E?3(x),x?a??d2?dx2?1(x)?2mEh2?1(x)?0,x?0 ??d2dx2?2(x)?(E?u0)?2(x)?0,0?x?a
???d2?dx2?3(x)?2mEh2?3(x)?0,x?a 特征方程r2?pr?q?0 方程 y???py??qy?0的通的两个根r解 1,r2 两个不相等的实根r1?r2 y?C1er1x?C2er2x 两个相等的实根r1?r2 y?(C1?C2x)er1x 一对共轭复根 r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) 注： y???qy?0的通解:特征方程r2?q?0,当q?0时，y?C??qx1e?C?qx2e，
（1）通解
当q?0时，通解y?C1eiqx?C2e?iqx
方程（1）的解可以表示为：
2mE2mE?ix?ixhh?(x)?ae?re,x?0?1?2m(E?u0)2m(E?u0)ix?ix?hh?ce,0?x?a （2） ??2(x)?be
?2mE2mE??(x)?teihx?de?ihx,x?a?3?定态波函数?1,?2,?3再分别乘上一个含时间的因子ei?Eth，可以看到式子（2）的
三式，第一项是左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波，即入射波和反射波。在x?a区域内，只有入射波，无反射波，故d?0。利用波函数及其一阶导数在x?0,x?a连续的边界条件，可得如下:这里的k1???1?x?x?0??2?x?x?0??d??x?d?2?x?由 ?1 ?dxx?0?dxx?0?a?r?b?c得 ? （3）
?k1a?k1r?k2b?k2c2m(E?u0)2mE,k2?hh；
??2?x?x?a??3?x?x?a??d??x?d?3?x?由 ?2 ?dxx?a?dxx?aika?ikaika??be2?ce2?te1 ? （4） ik2a?ik2aik1a??tk1e?bk2e?ck2e1?11??a???k可以写成： ??1?1????r????2?????k1?eik2a ??eik2a?1??b?k?? （5） ?c??2??k1???1?e?ik2a??b???k1?teik1a ????（6） ?ik2a?????c?e????k2?由式（5）和式（6）得：
??k2??k1??ik2a??1???1??e?k??a?1??k1?2??????r???4??k??k???1?2??1?1?e?ik2a ????k??k?1??2????k2??k1?ik2a????1?k????1?k??e?1??2??teik1a??k2??k1?ik2a?? （7） ?1?k????1?k??e?1??2???ikk???cosk2a?(2?1)sink2a?2k1k2?a???teik1a??????化解得： ? ?r??i(k2?k1)sinka?2?2kk?12??注：概率流密度的定义J?ih???*??*??； 2m??此处入射波aeik1x，透射波teik1x，反射波re?ik1x，分别代入概率流密度
ik1x*?ik1xihik1xdae*?ik1xdae[ae?ae]; Ja?2mdxdx????ih2ih2ih2a，同理Jt?t，Jr?r；
mmm注：透射概率流密度与入射概率流密度之比称为透射系数，即x?a区域粒子在单位时间内流过垂直与x方向的单位面积的数目，与入射粒子在x?0单位时间内流过垂直与x方向的单位面积的数目之比。
化简得：Ja?rJ从得出反射系数R?r?2。
Jaa2
1k2k122(?)sink2a4k1k2 R?
1kkcos2k2a?(2?1)2sin2k2a4k1k2化简的 R??k?k221?k222221?k2?sin2?sin22k2ak2a?4k1k22 (8)
同理透射系数T， T??k21?k222?sin4k1k22k2a?4k1k2 （9）
由上式R和T之和等于1，证实了入射粒子一部分透射到x>a区域，另一部分被
势垒反射。
（以后要重点关注共振点） 这里常在文献中涉及到是，当ak2?n?,n?0,1,2...反射为零，透射系数为1，产生的共振，此时只有透射波没有反射波，这个理解
为第一个界面反射的波和第二个界面反射的波相消干涉。即两个反射波之间有?相位差。（这里也可以研究概率密?度验证以上的结论） 讨论E?u0的情形，
2?h2d2?1(x)?E?1(x),x?0??22mdx??h2d2 ???2(x)?u0?2(x)?E?2(x),0?x?a 2?2mdx?h2d2?3(x)?E?3(x),x?a??2?2mdx2mE2mE?ix?ix???(x)?e?re,x?0?1?2m(u0?E)2m(u0?E)x?x???be,0?x?a 解： ??2(x)?ae??2mEi??(x)?te?x,x?a?3?其中k?2mE,k?2m(u0?E)；边界条件：
12???1?r?a?b ??k1i?ik1r?k2a?k2b T??ek2a?ka?ke2?24k1k2222e?k2a??a??eik1a0??t????????? ?k2a???ik1a?????k2e??b??ik1*e0??0?
?k21?k222?shka?4k221k2chk2a22
1.00.80.60.40.25101520
一维势垒问题总结
