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而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．
2-x
（2）设函数h(x)=1-ax e．
f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点． （i）当a≤时，h(x)>0，h(x)没有零点；
-x
（ii）当a>0时，h′(x)=ax(x-2) e．
当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)>0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增． 4a
故h(2)=1- 2是h(x)在[0,+∞)的最小值．
ee
①若h(2)>0，即a<，h(x)在(0,+∞)没有零点；
4e
②若h(2)=0，即a=，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；
4
e
③若h(2)<0，即a>，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
416a16a1
由（1）知，当x>0时，e=x，所以h(4a)=1-2a2>1-4=1- >0 (e)(2a)a
x
2
3
3
222
故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点． e
综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=．
4
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
??x=2cosθ
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?
?y=4sinθ?
2
??x=1+tcosα
（θ为参数），直线l的参数方程为?
?y=2+tsinα?
（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． xy
【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．
416
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα， 当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．
22
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cosα)t+4(2cosα+sinα)t-8=0．① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0． 又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．
2x+4 x≤-1 ??
【解析】（1）当a=1时，?2 -1 ?-2x+6 x>2 ?（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4． 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2， 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)． 2 2 专业技术参考资料
2024全国高考新课标2卷理科数学试题[解析版]
