第4讲 实数复习
模块一 知识精讲
实数的分类与表示
1.实数的分类
???正整数?????自然数整数零????????负整数?有理数???实数? ?正分数??分数???可化为有限小数或无限循环小数??负分数??????正无理数??无理数???无限不循环小数??负无理数??2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法．
★数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a，b互为相反数 4.绝对值：|a|=___________； 5．倒数：a，b互为倒数 即：ab=1；
6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数，有效数
a+b=0；
字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N=________×__________.
例题解析
例1.填空：
45这些数中：、?3、?16、1024、?0.3313、1.5325332533325、9
有限小数有_________________________________________________； 无限小数有_________________________________________________； 有理数有________________________________________________； 无理数有_______________________________________________； 实数有_______________________________________________； 小数有______________________________________________． 【难度】★
?45【解析】有限小数：、无限小数：?3、?0.3313、1.532533253332...；?16、1024、9；
5
有理数：
?45、?16、1024、?0.3313、9；无理数：?3、1.532533253332...；5
45实数：、?3、?16、1024、?0.3313、1.5325332533325小数：
、9；
4、?3、?0.3313、1.5325332533325．
【总结】小数不一定是分数，但分数一定是小数；51024?4；有理数包含无限循环小数，所以注意?0.3313也是有理数． 例2.请你辨别：
如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形
?
图1
边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个． 【难度】★【答案】3、6．
32?9， ∴有理数3个，无理数6个． 【解析】∵12?1，22?4，【总结】考查有理数与无理数的概念及运用． 例3.下列语句正确的是（
）
A．3.78788788878888是无理数 B．无理数分正无理数、零、负无理数 C．无限小数不能化成分数 D．无限不循环小数是无理数
【难度】★【答案】D
【解析】A、3.78788788878888是有限小数，无理数是无限不循环小数，错；B、0是有理 数，错；C、无限循环小数可以化成分数，错；D、正确． 【总结】考查实数的基本概念及分类．
例4.填空：
（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________； （2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；
（3）设实数a≠0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于____________， 三个数的积等于______．
【难度】★【答案】（1）0、-1； （2）正数； （3）
1、?a． a【解析】考查实数的基本概念及一些特征数，要熟记．
例5.填空：
实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0，a+b _______0， ?b?a________0，化简2a?a?b=________．
【难度】★★【答案】<、>、<、?3a?b． 【解析】由图可知：a?0?b，且b?a，
∴2a?0，a?b?0，?b?a??(b?a)?a?b?0， 2a?a?b??2a?a?b??3a?b．
【总结】考查数轴的认识及含绝对值的化简． 例6.比较下列各式的大小：
（1）3－2与－
2； 3 （2）2与1.4．
【难度】★【答案】（1）> ； （2）>． 【解析】∵3?1.732、2?1.414，
22；(2)∴2?1.414?1.4． ??0.471， ∴3?2??33（1）∴3?2??0.268，?【总结】本题主要考查实数的比较大小，对于常见的无理数的近似值要熟记． 例7.指出下列近似数分别精确到哪一位，并回答有几个有效数字?
（1）98.765； （2）98.765万； （3）12.30亿； （4）1.2300?102．
【难度】★★
【解析】（1）千分位，5个；（2）十位，5个；（3）百万位，4个 ；（4）百分位，5个． 【总结】本题主要考查有效数字及精确度的综合运用．
例8.当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球
运行，已知第一宇宙速度的公式是v1=gR (米/秒），第二宇宙速度的公式是v2=2gR (米/秒)，其中g=9.8米/秒，R=6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度（结果保留两个有效数字）． 【难度】★★【答案】v1?7.9?103m/s，v2?1.1?104m/s．
【解析】第一宇宙速度：v1?9.8?6.4?106?7.9?103m/s；
第二宇宙速度：v2?2?9.8?6.4?106?1.1?104m/s．
【总结】考查实数的基本运算在实际问题中的运用，注意对精确度的要求． 例9.a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，化简：a?b?a?c?c?b．
【难度】★★【答案】?2c．
【解析】由图知a?c?0?b，∴原式=b?a?(c?a)?(c?b)?b?a?c?a?c?b??2c． 【总结】考查数轴上的点的大小比较及绝对值的化简．
2例10.点A、B在数轴上所对应的实数分别为，23，点C也在数轴上，且CA为AB的三
3分之一．求：B、C之间的距离? 【难度】★★【答案】123?4243?8或． 99263?22123?4，所以当C在A、B之间时，BC=AB?； ?33394243?8． AB?39【解析】因为AB的距离为23? 当C在点A的左侧时，BC=
【总结】考查数轴上点两点间的距离的计算，注意分类讨论． 例11.比较下列各式的大小：
（1）33和42；（2）6?2和3?5；（3）120?99和98?77． 【难度】★★【答案】（1）< ； （2）<； （3）<．
【解析】（1）∵?33?2?27?32??42?2， ∴33?42；
（2）∵
?6?2?2?8?48?8?60??3?5?2， ∴6?2?3?5；
（3）∵120?99??98?77???120?77???99?98?，
又
?120?77?2?197?2120?77，
?99?98?2?197?299?98，
而99×98>120×77 ， ∴120?99??98?77???120?77???99?98??0，
∴120?99?98?77．
【总结】考查实数的比较大小，作差法和平方法是常用的方法． 例12已知5+11的小数部分为a，5?11的小数部分为b，求：
（1）a?b的值； （2）a?b的值． 【难度】★★★【答案】（1）1； （2）211?7．
【解析】∵3?11?4，∴a?5?11?8?11?3，b?5?11?1?4?11 ∴a?b?11?3?4?11?1； a?b?11?3?4?11?211?7． 【总结】考查实数的运算及无理数的整数部分和小数部分的确定． 例13.当a?22时，求：
1?1(a?2)(a?2?1)?1?1(a?2)(a?2?1)(a?2?1)(a?2?2)(a?2?2)(a?2?3)【难度】★★★【答案】82?47． 【解析】原式 =
．
1a?2?1a?2=?1?1a?2=?1a?2?1a?2?1a?2?2?1?1?1a?2?2?1a?2?3 1a?2?1a?2?3?112?1?12?3 =2?1?3?282?4． ?77【总结】本题综合性较强，涉及到了二次根式的化简，教师选择性的讲解，解题方法则类似“分数的裂项”思想进行化简． 例14.化简下列各式： （1）5?3?5?a2；
（2）3?x?x?4．
【难度】★★★
【答案】（1）3?a2； （2）见解析．
【解析】（1）原式=3?5?5?a2?3?a2；
（2）当x?4时，原式?x?3?x?4?2x?7； 当3 【总结】考查利用“零点分段发”化简含绝对值的代数式，注意要分类讨论． 模块二：数的平方根、立方根及分数指数幂 知识精讲 1．平方根，若x2?a，则数x叫做正数a的平方根记作x?_____?a____； 则数x叫做数a的立方根记作x?3a；2．立方根:若x3?a， 3．N次方根: 实数a的奇数方根有且只有一个，用na表示； ★实数a的偶数方根有两个，为na、-na，其中a＞0； 负数的偶次方根不存在； 零的n次方根等于零，n0?0； m4．a?a(a≥0)， nmn1nam?a?mn(a＞0)，其中m、n为正整数，n＞1． 例题解析 例1.判断题： （1）－0.01是0.1的平方根．（ ）（2）－52的平方根为－5．（ ） （3）0和负数没有平方根．（ ） （4）因为 1116的平方根是±14,所以116=±4．（ （5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数．（ ） 【难度】★【答案】（1）×； （2）×； （3）×； （4）×； （5）√． 【解析】（2）?52??25?0，负数没有平方根，×； （3）0的平方根是0，×； （4）11116?4，表示的是16的算术平方根，×． 【总结】考查平方根的概念及其性质． 例2.判断题： （1）如果b是a的三次幂，那么b的立方根是a；（ ） （2）任何正数都有两个立方根，它们互为相反数；（ ） （3）负数没有立方根；（ ） （4）如果a是b的立方根，那么ab≥0．（ ） 【难度】★ 【答案】（1）√； （2）×； （3）×； （4）√． 【解析】（1）正确；（2）任何正数都只有一个立方根，错；（3）负数有立方根，错； （4）一个数的立方根与它具有相同的正负形，对． 【总结】考查立方根的概念及性质． ） 例3.若a2?(?5)2，b3?(?5)3，则a+b的值为（ ） A．0 B．±10 C．0或10 D．0或－10 【难度】★★【答案】D 【解析】∵a2???5??25，∴a??5，b3???5?， ∴b??5，∴a?b??10或0． 【总结】考查平方根及立方根的基本概念及性质． 例4.下列说法中，正确的是（ ） A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 【难度】★★【答案】D 【解析】A、负数没有平方根，错；B、0的立方根是0，错；C、负数有立方根，错． 【总结】考查平方根及立方根的性质的运用． 例5.将下列式子化成分数指数幂的形式： 252)； 423（1）1000； （2）5?( （3）?a2b3； （4）?3[?(292)]； 23（5）3?128． 【难度】★★ 17291552323【答案】（1）1000；（2）(?)；（3）(?ab)； （4）()； （5）?23232 12． 【解析】（1）1000??100?10??10?10； 52522521212122??5??25??5?（2）原式=??????2???????4??2????2??55??(?)； 2?? 1129292923（3）原式=(?ab);（4）?3[?()]??(?)?()3； 232323 1232（5）?128???128????2?64????2?431313133??4???2???2?2??2． 2131373【总结】本题主要考查分数指数幂与根式的互化，注意计算过程中的恒等变形． 例6.（1）若2x?1有意义，则x范围是________； （2）如果a＜0，那么a2=________，(?a)2=________． 1【难度】★★【答案】（1）x??； （2）?a、?a． 21【解析】（1）∵2x?1有意义，∴2x?1?0，x??； 2 （2）∵a＜0，∴a2??a，(?a)2??a． 【总结】考查平方根的意义及性质的运用． 例7.用“<”、“>”或“=”号填空： （1）14 ____356； （2）3100 ____21； （3）－0.2 ____3?0.07； （4）－26 ____3?128． 【难度】★★【答案】（1）<； （2）>； （3）<； （4）<． 【解析】（1）∵ ?14??66?2744?3136??356，∴14?356； ?6（2）∵ ?3100?10000?9261??21，∴3100?21； ?6 （3）∵?0.2??6?0.008?0.0049??33?0.07，∴?0.2?3?0.07； ?6（4）∵?26??6?17576?16384???128，∴?26?3?128． ?6【总结】考查立方根与平方根的大小比较，注意方法的总结． 例8.解答： （1）x?3y?1?2x?y?5?0，求x和y的值； （2）已知2a?b2?b2?10?0，求a+b的值． 【难度】★★【答案】（1）x?2，y??1； （2）10?5或?10?5． 【解析】（1）由题意知：x?3y?1?0且2x?y?5?0，∴x?2，y??1； b??10=?10， （2）由题意知：2a?b2?0且b2?10?0，∴a??5， ∴a?b??5?10． 【总结】考查非负数的和为零的基本模型的运用． 例9.（1）已知x?2和x分别是某整数的平方根，求这个整数； （2）已知a3?64+|b3－27|=0，求(a－b)b的立方根． 【难度】★★★【答案】（1）1； （2）-7． 【解析】（1）由题意，得：x?2?x?0，x??1，∴这个整数是1； （2）由题意，得：a3?64?0，b3?27?0，∴a??4，b?3， ∴3?a?b??3??4?3???7． 【总结】考查正数的平方根互为相反数的运用及非负数的和为零的基本模型的计算． b3 例10.解答： （1） 已知：10404=102，x=0.102，求x的值； （2） 已知：318?2.621，31.8?1.216，30.18?0.565，求318000000的值． 【难度】★★★【答案】（1）0.010404； （2）262.1． 【解析】（1）∵0.102?102?10-3， ∴x?10404?10?6?0.010404； （2）318000000?318?31000000?2.621?100?262.1． 【总结】本题主要考查根据已知条件进行求值，主要是总结根号里面的数的小数点移动位数与相应的结果的小数点移动位数间的关系． 模块三：混合运算 知识精讲 实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同一级运算应从左至右，按顺序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行. 例题解析 例1.计算： （1）8?18?32； （2）27?12?75； （3）23?27?1． 3【难度】★ 【答案】（1）92； （2）63； （3）143． 3【解析】（1）原式=22?32?42?92； （2）原式=33?23?53?63； 314?3． 33 （3）原式=23?33?【总结】考查实数的运算． 例2.计算： 12（1）（?2）?1 16248?33； （2）21； ?4216?4236（3）?(4?3)0； （4）2?1?3(3?6)?8． 【难度】★★【答案】（1） 950； （2）?6； （3）10； （4）4． 43【解析】（1）原式=4?178196650??； （2）原式=?246?42???6； 16164363 （3）原式=8?1?1?10； （4）原式=2?1?3?32?22?4． 【总结】考查实数的运算，注意法则的准确运用． 例3.计算： （1）1?18?|1?2|； 4 1（2）?32?(?)?3?|1?3|?27． 2【难度】★★【答案】（1）2； （2）23． 2【解析】（1）原式=1?22；（2）原式=?9?8?3?1?33?23． ?2?1?22【总结】考查实数的运算，包含了整数指数幂的运算及其绝对值的化简． 191279?3213246例4.计算：（1）?1.5?(?)?27?（2）?[()]?()4． 464 43132【难度】★★【答案】（1）?3； （2）?． 311??16327?9?3??39?3273392?【解析】（1）原式??()?????27??????????3； ??4??22222?24??? 1312 339?12124212244（2）原式??[()]?()??()?()4??． 43333 【总结】本题主要考查有理数指数幂的运算，注意性质的准确运用． 例5.计算： 4x3x3x3?13369?8xy?27xy?? （1）； （2）23xy36y6x?x?1x?1x2?1?x（x?1）． 2【难度】★★★【答案】（1）x42xy； （2）0． 32xxxx2?2y2xy?3x2y3?3?x42xy；3xy6y3【解析】（1）原式? 3233x?1x?1?x?1?xx?1x?1 （2）原式=2????0． x?x?1x2?1?xx2?x?1x2?x?1【总结】本题综合性较强，主要考查含有字母的根式的化简，教师可以选择性的讲解． 例6.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如m?2n的化简，只要我们找到两个数a、b，使a?b?m，ab?n，使得 (a)2?(b)2?m，a?b?n，那么便有： m?2n?(a?b)2?a?b(a?b) 例如：化简7?43 解：首先把7?43化为7?212，这里m?7，n?12，由于4+3=7，4?3?12 即(4)2?(3)2?7，4?3?12 ∴7?43=7?212=(4?3)2?2?3 （1）由上述例题的方法化简：13?242； （2）化简：①11?46； ②59?246． 【难度】★★★ 【解析】（1）13?242???7?62?2?7?6； （2）?11?46???8?3?8?3?22?3； ?59?246?27?32?2?27?32?33?42． 【总结】本题主要考查学生的阅读理解能力，根据题目中给出的方法，对平方根进行化简，主要是利用完全平方的思想结合平方根的性质进行化简． 随堂检测 1.判断正误： （1）有理数包括整数、分数和零；（ （2）无理数都是开方开不尽的数；（ （3）不带根号的数都是有理数；（ （4）带根号的数都是无理数；（ （5）无理数都是无限小数；（ （6） 无限小数都是无理数．（ ） ） ） ） ） ） 【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√；（6）×． 【解析】（1）有理数包括整数和分数，零是整数，错；（2）无理数是无限不循环小数，错； （3）?没带根号，是无理数，错； （4）4是有理数，错； （5）无理数是无限不循环小数所以无理数是无限小数，对； （6）无限循环小数是有理数，错． 【总结】考查实数的相关概念，注意进行正确的辨析． 2.写出下列数字精确到哪一位，有效数字有几个?分别是什么? 1.723?107 【难度】★ 8.31?10?4 20000 210.000 【解析】万位、4个；百万分位、3个；个位、5个；千分位、6个． 【总结】考查对有效数字及精确度的理解． 3．??、??、??三个数在数轴上的点如图所示，则√(?????)2?|?????|?|??+??|= A．?2?? 【答案】A 【分析】根据数轴可知a＜c＜0＜b，|a|＞|b|＞|c|，原式可化简为﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（c+b），去括号后合并同类项即可． 【详解】∵根据数轴可知：a＜c＜0＜b，|a|＞|b|＞|c|，∴原式=|a﹣b|﹣|a﹣c|﹣|c+b| =﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（c+b） =﹣a+b﹣c+a﹣c﹣b =﹣2c． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简．数轴，绝对值，整式的化简的应用，关键是能把原式得出﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（c+b）． B．2???2?? C．0 D．2???2?? 4．如果a?【答案】12 36，b是7的整数部分，那么ab?_______． 【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可． 【详解】a?36?6，4?7?9，?4?7?9，即2?7?3 ?7的整数部分是2，即b?2 则ab?6?2?12，故答案为：12． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键． 5．若14的小数部分为a，整数部分为b，则a?(14?b)的值为_____________． 【答案】5 【分析】根据3?14?4，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案． 【详解】解：∵9?14?16，∴3?14?4，∴a?14?3，b?3， ∴a?(14?b)?(14?3)(14?3)?14?9?5 【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式的应用，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 6．小明和小华做游戏，游戏规则如下： （1）每人每次抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数或算式；如果抽到底板带点的卡片，那么减去卡片上的数或算式． （2）比较两人所抽的4张卡片的计算结果，结果大者为胜者． 请你通过计算判断谁为胜者？ 【答案】（1） 1（（（2（小华获胜． 2 试题分析：（1）列出两人抽取的算式，计5?1算即可； 2（2）比较两人结果大小，即可作出判断． 试题解析（（1）小明抽到卡片的计算结果：18（1132（8+=32（2（22+ 224= 1（ 2小华抽到卡片的计算结果：20（3712?375355?1+（=25（+3（=（ 224223（2（∵ 15?1（（∴小华获胜． 22点睛：此题考查的实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 7.（1）若x、y都是实数，且y=x?3+3?x+8，求x+3y的立方根； 11+?x有意义，求3x的值． 88（2）若x?【难度】★★★【答案】（1）3； （2） 1． 2?x?3，y?8， ∴3x?3y?327?3； 【解析】（1）由题意，知：x?3?0且3?x?0，111 （2）由题意，知:x?，?3?． 882【总结】本题一方面考查平方根有意义的条件，另一方面考查立方根的计算． 8.解答： （1）已知x?21?3，求x3?9x2?6x?27的平方根； （2）已知a2?23a?b2?427b?111?0，求ab的算术平方根． 【难度】★★★【答案】（1）?37； （2）32． 【解析】（1）x3?9x2?6x?27??x?3??21x?3?21?21?3?21?3?63， ? ∴x3?9x2?6x?27的平方根为?37； （2）∵a2?23a?b2?427b?111?a?3????b?63?22?0， ∴a?3，b?63，?ab?18，所以ab的算术平方根为32． 【总结】本题综合性较强，主要考查对平方根及算术平方根的理解，计算时注意方法的灵活性，千万不要死算．
第4讲 实数复习（讲义）解析版
