小学六年级奥数
AADEDEBCBC【解析】 连接BE，S△ADES△ABC?35:S△ABE?AD:AB?
2:5?(2?4):(5?4)，
，设S△ADE?85)份，则
S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是
70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三
角形ABC的面积是多少？
AADECDECB【解析】 连接BE．
∵EC?3AE ∴S?ABC?3S?ABE 又∵AB?5AD
∴S?ADE?S?ABE?5?S?ABC?15，∴S?ABC?15S?ADE?15．
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD是甲部分面积的几倍？
AEB甲D B
?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面积
A乙CE【解析】 连接AD．
∵BE?3，AE?6
∴AB?3BE，S?ABD?3S?BDE 又∵BD?DC?4，
∴S?ABC?2S?ABD，∴S?ABC?6S?BDE，S乙?5S甲．
【例 7】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:ADAE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．
DD
B甲D乙C
?5:2，
AAEBCE
BC
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【解析】 连接BE，S△ADE所以S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)
?6S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，
份，则S△ABC?25，设S△ADE份，S△ADE?12平方厘米，
所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
H?4AD，平行四边形ABCD的面
HAGDFBCEAGDFBCE【解析】 连接AC、BD．根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，
∴
S△ABCS△FBE?AB?BCBE?BF?1?11?3?13
．
又S△ABC?1，所以S△FBE?3．
?15同理可得S△GCF所以SEFGH所以
SABCDSEFGH236?8，S△DHG1，S△AEH?8．
．
?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36??18．
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
C1312O131213D131212AB【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?5，以AC为一边向?ABC外作正方形ACDE，
中心为O，求?OBC的面积．
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EEOA3B5CDOA3D【解析】 如图，将?OAB沿着O点顺时针旋转90?，到达?OCF的位置．
由于?ABC?90?，?AOC?90?，所以?OAB??OCB?180?．而?OCF??OAB， 所以?OCF??OCB?180?，那么B、C、F三点在一条直线上．
由于OB?OF，?BOF??AOC?90?，所以?BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5?3?8，所以它
的面积为82?14?16
B5CF
．
58?10根据面积比例模型，?OBC的面积为16?．
?90?
【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，?AEB知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．
CBCB，AC、BD交于O．已
OEDADOEAF
【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置．
那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?，而?AEB也是90?，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF?AE?3，
所以梯形AFBE的面积为：
?3?5??3?12?12(cm2)．
?AE2又因为?ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2S?ABD?12AB2?BE2?3?5?3422，所以
?17(cm2)．
那么S?BDE?S?ABD??S?ABE?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2)，
所以S?OBE?12S?BDE?2.5(cm2)．
【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，
BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD?24厘米，BD?18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
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BACGABCFEDFED
【解析】 如图，我们将?BCD平移使得CD与AF重合，将?DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重
合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24?18?432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于
点F．则四边形DFEC的面积等于 ．
AAAEBDFCB33EF312CD
S△ABFS△ACF?BDDC?12EFBDC
?AEEC?1,
【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，，
S△ABFS△CBF
设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标 所以SDCEF?512S△ABC?512
13?方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ADE?12S△ADC?12?23S△ABC?13S△ABC?S△ABDS△ADE?1311， ，
112512，所以
BFFES△DEF?12?S△DEB??1212?1313?S△BEC?12?13?12?S△ABC?，
而S△CDE?23?S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于
?2DE．
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC厘米?
AFBGDECBBAA3F3G，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方
D1DEFx2y3xyCEG
C512S△BCD?512【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?平方厘米.
【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面
积的，且AO31?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．
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AOBDAHOCBDG 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S?ABD:S?BCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1． 解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．
∵S?ABD?∴AO?13C13S?BCD，∴AH?13CG，∴S?AOD?13S?DOC，
CO，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？
A2B1G3DC
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，S?BGC?1?2?3，那么S?BGC?6；
⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．
AOGBDFC【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6△OCF的面积为8?4?4；
⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6根据蝴蝶定理，EG那么S?GCE?
第 10 页 共 25 页 :FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2
那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?16，
?2E所以?8，
，
，所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2，
11?2S?CEF?13?2?23．
六年级奥数-第四讲 几何-平面部分 教师版
