导数题型分类解析(2016版)
一．导数的概念
1.导数的概念：
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f（x0+?x）－f（x0），
比值
?y?yf(x0??x)?f(x0)叫做函数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即=。如果当
?x?x?x?x?0时，
?y有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处?x?x?0的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0，即f（x0）=limf(x0??x)?f(x0)?y=lim。
?x?x?x?0由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： ① 求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）；② 求平均变化率③ 取极限，得导数f’(x0)=lim?yf(x0??x)?f(x0)=；
?x?x?y。
?x?0?xh?0例1：若函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，且x0?(a,b)则limf(x0?h)?f(x0?h) 的值为（ ）
h''A．f'(x0) B．2f(x0) C．?2f(x0) D．0
f(x0?h)?f(x0?3h)?（ ）
h?0h A.?3 B．?6 C．?9 D．?12
2．导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率
'例2：若f(x0)??3，则lim ②几何意义：切线斜率k?lim ③代数意义：函数增减速率
?x?0f(xn)?f(x0)?f?(x0)
xn?x0例3：【2015高考北京】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 2015年5月15日 12 35000 35600 48 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
例4：已知函数f?x??f??2????cosx?sinx，则?4????f??的值为 . ?4?例5：已知f?x??x?3xf??2?，则f??2?? 3.导数的物理意义：
如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s?（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。 例6：一个物体的运动方程为s?1?t?t其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是
例7：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ） s s s s 2O A．
t O B．
t O C．
t O D．
t
二：导数的运算
1．基本函数的导数公式:
①C??0;（C为常数） ②x????nxnn?1; ③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx;⑤
11(ex)??ex; ⑥(ax)??axlna; ⑦?lnx???; ⑧?logax???logae.
xx例8：下列求导运算正确的是 ( )
?1?11??A．?x???1?2 B．?log2x??=
xln2x?x?C．3????3xx?log3e D． x2cosx??2xsinx
??例9：若f0?x??sinx,f1?x??f0?x?,f2?x??f1?x?,??，fn?1?x??fn?x?,n?N，则f2005?x?? 真题：
1.已知f?x??x?x?1??x?2??x?3???x?2006?，则f??0?为 ????练：已知f1?x??sinx?cosx，fn?1?x?是fn?x?的导函数，即f2?x??f1?x?，?，
?fn?1?x??fn?x?，n?N?，则f2014?x??________.2：导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (u?v)?u?v.
'''法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)?uv?uv.
若C为常数,则(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)?Cu.
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分
''''''''''?u'v?uv'?u?母的平方：???（v?0）。 2v?v?3.复合函数的导数
形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：
分解——>求导——>回代。法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X或者f?[?(x)]?f?(?)*??(x). 例10：（1）函数y?x3?log2x的导数是
（2）函数xen2x?1的导数是 2例11：y?(1?cos2x)；（2）y?sin31 x三：利用已知条件求原函数解析式中的参数
例12：已知多项式函数f(x)的导数f(x)?3x?4x，且f(1)?4，则f(x)= . 例13：已知函数f(x)?x?ax?bx?c，它的图象过点A(0,?1)，且在x?1处的切线方程为
32/22x?y?1?0，则f(x)= .
四：切线相关问题
1.已知曲线上的点求切线方程
例14：曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 例15：设函数f(x)?ax?（1）求f(x)的解析式
（2）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
1 (a,b∈Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3. x?b3
例：对正整数n,设曲线y?xn?1?x?在x?2处的切线与y轴的交点的纵坐标为an,则?a?数列?n?的前n项和为Sn?_________.?n?1?
2.已知曲线外的点求切线方程
例16：已知曲线y?x，则过点P(1,?3)，且与曲线相切的直线方程为 . 例17：求过点（-1，-2）且与曲线y?2x?x相切的直线方程.
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3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程
3例18：曲线f(x)=x+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ）
A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(?1,?4) D．(2,8)和(?1,?4) 例19：若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0
4五：求函数的单调区间
1.无参数的函数求单调性问题
lnx例20：证明：函数f(x)?在区间（0，2）上是单调递增函数.
x
例21：确定函数f(x)?2x?6x?7的单调区间.
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2.含有参数的函数的单调性
1312例22：已知函数f(x)?x?(1?a)x?ax，求函数f?x?的单调区间。
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例23：已知函数f(x)?lnx?ax?(2?a)x，讨论f（x）的单调性.
2例25：【2015高考广东，理19】设a?1，函数f(x)?(1?x2)ex?a． (1) 求f(x)的单调区间 ；
(2) 证明：f(x)在???,???上仅有一个零点；
例26：【2015高考江苏，19】已知函数f(x)?x?ax?b(a,b?R).试讨论f(x)的单调性；
例27：已知f?x??lnx?ax，讨论y?f?x?的单调性
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六：结合单调性和极值求参数的取值范围
例28：已知函数f(x)?3x?2x?1在区间?m,0?上是减函数，则m的取值范围是 . 32例29：已知函数f?x??m3函数f?x?在区间?2,???内存在单调递增区间，则mx?x2?x?m?R?，
3?21?,??内单调递减，则a的33??的取值范围 .
例30：已知函数f?x??x?ax?x?1?a?R?，若函数f?x?在区间??32取值范围 . 例31：已知函数f(x)?值范围 .
例32：已知函数f(x)?x?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
3131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0).若f(x)在[0，1]上单调递增，则a的取322在?1,???上是单调函数，求实数a的取值范围 x1?1?2?单调递减，则mn的例34：如果函数f?x???m?2?x2??n?8?x?1?m?0，n?0?在区间?，22??例33：已知函数f?x??x?alnx，若g?x??f?x??2最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
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