方法强化练——函数与基本初等函数
(建议用时：75分钟)
一、填空题
x＋10
1．(2014·珠海模拟)函数y＝的定义域为______．
2x＋1
??x＋1≠0，
解析 由?
??2x＋1＞0，
?1?得x∈?－，＋∞?.
?2?
?1?答案 ?－，＋∞?
2
?
?
2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________．
①y＝2；②y＝lg(x＋x＋1)；③y＝2＋2；④y＝lg
|x|
2
x－x1. x＋1
解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④
3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝
________.
1αα2α解析 设幂函数为f(x)＝x，则f(9)＝9＝3，即3＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)
21
＝x＝x，所以f(2)－f(1)＝2－1. 2答案
2－1
x4．(2014·无锡调研)已知方程2＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析 设f(x)＝2＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内． 答案 2
5．(2014·天水调研)函数f(x)＝(x＋1)ln x的零点有________个．
解析 函数的定义域为{x|x＞0}，由f(x)＝(x＋1)ln x＝0得，x＋1＝0或ln x＝0，即x＝－1(舍去)或x＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 1
1?1?1
6．(2014·烟台月考)若a＝log20.9，b＝3－，c＝??，则a、b、c大小关系为________．
3?3?2
x?1?1?1?1
解析 a＝log20.9＜0，b＝??＞??＝c＞0.
?3?3?3?2
答案 a＜c＜b
1
?1?|x＋1|的大致图象为________．
7．(2013·潍坊二模)函数y＝??
?2?
??1?x＋1，x≥－1，??1??|x＋1|＝???2?解析 因为y＝??
?2???2x＋1，x＜－1，
答案 ②
所以图象为②.
??x，x＜0，
8．(2013·长沙期末考试)设f(x)＝?x?2，x≥0，?
2
则f[f(－1)]＝________.
解析 f(－1)＝(－1)＝1，所以f[f(－1)]＝f(1)＝2＝2. 答案 2
9．(2013·湖南卷改编)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为________．
解析 因为g(x)＝x－4x＋4＝(x－2)，所以作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝x－4x＋4＝(x－2)的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．
2
2
2
2
2
2
1
答案 2
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3＋m(m为常数)，则
xf(－log35)的值为________．
解析 由题意f(0)＝0，即1＋m＝0， 所以m＝－1，f(－log35)＝－f(log35) ＝－(3log35－1)＝－4. 答案 －4
11．(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1
＝5.06x－0.15x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15
2
2
辆车，则能获得的最大利润为________．
解析 设在甲地销售x辆车，则在乙地销售15－x辆车，获得的利润为
y＝5.06x－0.15x2＋2×(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，
3.06
当x＝－＝10.2时，y最大，但x∈N，所以当x＝10时，ymax＝
2×－0.15－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 45.6
12．(2013·陕西卷改编)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有________．
?1?①[－x]＝－[x]；②?x＋?＝[x]；③[2x]＝2[x]；
?2??1?④[x]＋?x＋?＝[2x]． ?2?
解析 特值法 对①，设x＝－1.8，则[－x]＝1，－[x]＝2，所以①为假；对②，设x?1?＝1.8，则?x＋?＝2，[x]＝1，所以②为假；对③，设x＝－1.4，[2x]＝[－2.8]＝－?2?
3,2[x]＝－4，所以③为假． 答案 ④
13．(2014·郑州模拟)已知函数f(x)＝e
数，则a的取值范围是________．
解析 g(x)＝|x－a|的增区间为[a，＋∞)， ∴f(x)＝e
|x－a|
|x－a|
(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函
的增区间为[a，＋∞)．
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1. 答案 (－∞，1]
14．(2013·滨州一模)定义在R上的偶函数f(x)，且对任意实数x都有f(x＋2)＝f(x)，当
x∈[0,1)时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则
实数k的取值范围是________．
解析 由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期为2.由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝kx＋k
3
＝k(x＋1)，分别作出函数y＝f(x)，y＝k(x＋1)的图象，设A(3,1), B(－1,0)，要使1－01
函数有4个零点，则直线y＝k(x＋1)的斜率0＜k≤kAB，因为kAB＝＝，所以
3－－141?1?0＜k≤，即实数k的取值范围是?0，?.
4?4?
?1?答案 ?0，? ?4?
15．(2014·扬州质检)对于函数f(x)＝x|x|＋px＋q，现给出四个命题：
①q＝0时，f(x)为奇函数； ②y＝f(x)的图象关于(0，q)对称；
③p＝0，q＞0时，方程f(x)＝0有且只有一个实数根； ④方程f(x)＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．
解析 若q＝0，则f(x)＝x|x|＋px＝x(|x|＋p)为奇函数，所以①正确；由①知，当q＝0时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋px＋q的图象由函数f(x)＝
x|x|＋px向上或向下平移|q|个单位，所以图象关于(0，q)对称，所以②正确；当p＝0，
??x＋q，x≥0，
q＞0时，f(x)＝x|x|＋q＝?2
?－x＋q，x＜0，?
2
当f(x)＝0，得x＝－q，只有一解，
2
??x－x，x≥0，
所以③正确；取q＝0，p＝－1，f(x)＝x|x|－x＝?2
?－x－x，x＜0，?
由f(x)＝0，可
得x＝0，x＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 二、解答题
16．(2013·贵阳诊断)函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，
－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
??f解 (1)由?
?f?
8＝2，1＝－1，
??m＋loga8＝2，
得?
?m＋loga1＝－1，?
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)] ＝log2
x2
x－1
－1(x＞1)．
4
∵2
＝x－1
x2x－1
2
＋2x－1＋11
＝(x－1)＋＋2≥
x－1x－11
x－1·＋2＝4. x－1
1
，即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递x－1
－1≥log24－1＝1，
当且仅当x－1＝增，则log2
x2
x－1
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
17．(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x－x－3，由题意可知x＝x－x－3，得x1＝－1，
2
2
2
x2＝3.
故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1,3.
(2)∵f(x)＝ax＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax＋(b＋1)x＋b－1， 即ax＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立． 于是Δ′＝(－4a)－16a＜0解得0＜a＜1，
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0,1)．
18．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入12
成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x(万元)；当年产量不小于80千
310 000
件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，
2
22
2
2
x该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？
解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，1212
依题意得，当0＜x＜80时，L(x)＝0.05×1 000x－x－10x－250＝－x＋40x－250.
3310 000?10 000?.
当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－?x＋?x?
x?
5
高考数学一轮总复习 方法强化练 函数与基本初等函数 理 苏教版(1)
