[例3] (12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．
[思路点拨] 本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．
[精解详析] 法一：分为两类：
第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种； 第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种． 共有36＋48＝84种． 法二：分为四步： 第一步：考虑A，有4种； 第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
[一点通] 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．
7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )
A．18 C．14
解析：分为两大类：
第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标． 由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标． 由分步乘法计数原理，有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N＝6＋8＝14个． 答案：C
8．有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本．若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有________种不同的选法．
解析：分为三类，每一类再分两步．
第一类选中文、英文书各一本有7×5＝35种选法，第二类选中文、法文书各一本有7×3
B．16 D．10
＝21种选法，第三类选英文、法文书各一本有5×3＝15种选法，所以总共有35＋21＋15＝71种不同的选法．
答案：71
9．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：确定幸运观众可分两类：
第一类：幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400种结果；
第二类：幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有20×30×19＝11 400种结果．
根据分类加法计数原理，共有17 400＋11 400＝28 800种不同的结果．
1．两个计数原理的区别 区别一 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类” 每类办法都能独立地完成这件事，它是区别二 独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步” 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 区别三 2.“分类”“分步”应注意 (1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
[对应课时跟踪训练?一?]
1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )
A．37种 C．3种
B．1 848种 D．6种
解析：根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)． 答案：A
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，其中虚数有
( )
A．30个 C．36个
B．42个 D．35个
解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有6种选法；第二步，实部 a 有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数 6×6＝36 个．
答案：C
3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )
A．756种 C．28种
B．56种 D．255种
解析：推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)． 答案：D
4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．12种 C．48种
B．24种 D．72种
A C D B 解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法． 由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法． 答案：D
5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．
解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)． 答案：72
6．如图，A→C，有________种不同走法．
解析：A→C的走法可分两类： 第一类：A→C，有2种不同走法；
第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．
根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法． 答案：6
x2y2
7．设椭圆2＋2＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．
ab(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．
∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：
a b 2 1 3 1,2 4 1,2,3 5 1,2,3,4 故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆． 8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：
第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种． 第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．
因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．
第一课时 排列与排列数公式
[对应学生用书P6]
[例1] 下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？ (2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？ (3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？ (4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？
[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关． [精解详析] (1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题． (2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题． (3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．
(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． [一点通] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.
其中为真命题的是( ) A．①② C．②③ 答案：A
2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？ (2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？ (3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？
解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．
(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．
不同排列为张红 李明；李明 张红；张红 赵华；赵华 张红；李明 赵华；赵华 李明．
B．①③ D．①②③
排列的概念
【北师大版】2017-2018学年高中数学选修2-3教学案(含答案)
