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函数与导数经典例题-高考压轴
1. 已知函数f(x)?4x?3tx?6tx?t?1,x?R，其中t?R． （Ⅰ）当t?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当t?0时，求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
21x?，h(x)?x． 32（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
33（Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)；
241（Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)??h(n)]?．
6322. 已知函数f(x)?3. 设函数f(x)?alnx?x?ax，a?0
22（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a，使e?1?f(x)?e对x?[1,e]恒成立． 注：e为自然对数的底数．
2ex4. 设f(x)?，其中a为正实数.
1?ax2（Ⅰ）当a?
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时，求f(x)的极值点；（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 3
5. 已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的
底数）。 （I）求实数b的值； （II）求函数f（x）的单调区间； （III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m 6. 设函数f，gx，其中x?R，a、b为常数，已知曲线()x?x?2ax?bx?a()?x?3x?23221，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说ey?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 （I） 求a、b的值，并写出切线l的方程； （II）若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1?x2，且对任意x?g()x?mx的x??x恒成立，求实数m的取值范围。 ()?g()x?m(x?1)1,x2?，fx整理 . 函数与导数经典例题-高考压轴答案 1. 已知函数f(x)?4x?3tx?6tx?t?1,x?R，其中t?R． （Ⅰ）当t?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当t?0时，求f(x)的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 322 （Ⅰ）解：当t?1时，f(x)?4x?3x?6x,f(0)?0,f?(x)?12x?6x?6 32 f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x. 22 （Ⅱ）解：f?(x)?12x?6tx?6t，令f?(x)?0，解得x??t或x?t. 2 因为t?0，以下分两种情况讨论： （1）若t?0,则t??t,当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2t????,?? 2??+ x ?t?,?t?? 2??- ??t,??? + f?(x) f(x) 所以，f(x)的单调递增区间是???,??t??t?,?t,??;f(x)的单调递减区间是??,?t?。 ??2??2? （2）若t?0,则?t?t，当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2t???t,?? 2??- x ???,t? + ?t?,???? 2??+ f?(x) f(x) 整理 . 所以，f(x)的单调递增区间是???,?t?,?t??t??,???;f(x)的单调递减区间是??t,?. ?2??2???t?2??t?,???内单调?2? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t?0时，f(x)在?0,?内的单调递减，在?递增，以下分两种情况讨论： （1）当 t?1,即t?2时，f(x)在（0，1）内单调递减， 2f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0. 所以对任意t?[2,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当0?t?t??t??1,即0?t?2时，f(x)在?0,?内单调递减，在?,1?内单调递增，若2?2??2?77?1?t?(0,1],f????t3?t?1??t3?0. 44?2? f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0. 所以f(x)在??t?,1?内存在零点。 ?2?7373?t???t?t?1??t?1?0. ???244?? 若t?(1,2),f? f(0)?t?1?0 所以f(x)在?0,?内存在零点。 所以，对任意t?(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t?(0,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 21x?，h(x)?x． 32（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值； 33（Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)； 241（Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)??h(n)]?． 6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 ??t?2? 2. 已知函数f(x)?整理
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
