题，每个试题考生都必须作答.第(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：60分. (17)(本小题满分12分)
2π?
已知函数f(x)＝asin x＋bcos x，a≠0，x∈R，f??3?＝1，f(x)的最大值是2. (Ⅰ) 求a、b的值；
1π(Ⅱ) 先将f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个
26π10ππ
α＋?＝，α∈?，?，求cos 2α的值. 单位得到函数g(x)的图象，已知g??4?13?62?
【解析】(Ⅰ)由已知有：错误!解之得：错误!3分 π
x＋?，5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有f(x)＝3sin x＋cos x＝2sin??6?
1π
因为将f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单
26π
2x－?，7分 位得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2sin?6??
π10πππ5π2π
α＋?＝，α∈?，?得sin?2α＋?＝，且2α＋∈?，π?， 由g?3?13?4?13?62???3?3π12
2α＋?＝－，10分 则cos?3??13
ππππππ
2α＋?－?＝cos?2α＋?cos＋sin?2α＋?sin cos 2α＝cos??3?3?3?33?3????1215353－12
＝－×＋×＝.12分
13213226
(18)(本小题满分12分)
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD.
(Ⅰ)求证：平面AMC⊥平面BMC； (Ⅱ)求四棱锥C－ADMB的体积；
(Ⅲ)求折后直线AB与平面ADC所成的角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)∵ 平面BMC⊥平面ABMD，平面BMC∩平面ABMD＝MB， 由题易知AM⊥MB，且AM平面ABMD， ∴ AM⊥平面BMC， 而AM平面AMC， ∴平面AMC⊥平面BMC. 3分
(Ⅱ)由已知有△CMB是正三角形，取MB的中点O， 则CO⊥MB. 又平面BMC⊥平面ABMD于MB， 则CO⊥平面ABMD，且CO＝易求得S梯形ABMD＝
33
， 4
3
，5分 2
13333
∴VC－ABDM＝××＝.7分
3428
(Ⅲ)作Mz∥CO，由(Ⅰ)知可如图建系，
13
则A(3，0,0)，B(0,1,0)，C?0，，?，AB＝(－3，1,0).
?22?131
又MD＝BA得D?，－，0?，
22??2
1333CA＝?3，－，－?，CD＝?，－1，－?.9分
22?2???2
设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，则错误!得n＝(1，－错误!，3). 设折后直线AB与平面ADC所成的角为θ，则sin θ＝
39
＝.12分
|n||AB|13|n·AB|
(19)(本小题满分12分) 一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋快棋比赛.每比赛一局商家要向每名棋手支付2 000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利14 000元.从两名32
棋手以往的比赛中得知： 甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，两名棋手约定：最
55多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5 000元的奖金，
若没有决出获胜者则各颁发2 500元.
(Ⅰ)求下完五局且甲获胜的概率是多少？
(Ⅱ)商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少？ 【解析】(Ⅰ)设下完五局且甲获胜为事件A，
则5局的胜负依次为： 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.
3?3?2?2108
P(A)＝??5?·?5?＝3 125.4分
(Ⅱ) 设ξ表示比赛的局数，η表示商家相应的的收益.
则η＝(14 000－2×2 000)ξ－5 000＝10 000ξ－5 000， 根据题意ξ可取2,3,4,5. 3?2?2?213
P(ξ＝2)＝??5?＋?5?＝25； 2?3?23?2?26P(ξ＝3)＝×＋×＝；
5?5?5?5?252?3?33?2?378
P(ξ＝4)＝×＋×＝；
5?5?5?5?625
?2?2×?3?2＝72或P(ξ＝5)＝1－[P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)]＝72.10分 P(ξ＝5)＝2×?5??5?625625
13678721 772
∴Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＝，
2525625625625
Eη＝10 000Eξ－5 000＝28 352－5 000＝23 352.
商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是23 352元. 12分
或单设ξ为收益，可取15 000,25 000,35 000,45 000.相应的概率与上同，再求Eξ. (20)(本小题满分12分)
已知抛物线的方程x2＝2y，F是其焦点，O是坐标原点，由点P(m，－3)(m可为任何实数)向抛物线作两条切线，切点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2).
(Ⅰ)求证：OA·OB＝3；
(Ⅱ)证明直线AB过定点并求△ABO与△AFO面积之和的最小值.
x2?x2?【解析】(Ⅰ)由y＝得y′＝x，设由点P(m，－3)向抛物线作切线的切点的坐标是?x，2?，
2x2
－(－3)2
则切线的斜率等于点P与切点连线的斜率，即：x＝，2分
x－m
22xx12x1，?，B?x2，?，则x1x2＝－6， 得x－2mx－6＝0，设切点A?2?2???2
2
(－6)2x21x2故OA·OB＝x1x2＋·＝－6＋＝3.5分
224
另法：设切线方程：y＋3＝k(x－m)与x2＝2y联立得：x2－kx＋mk＋3＝0，
其判别式k2－4(mk＋3)＝0，得两条切线的斜率之积k1k2＝－12， kk1k2切点横坐标x＝，两切点的横坐标之积x1x2＝·＝－6，再后同上.
222(Ⅱ)设直线AB的方程为：y＝kx＋b，代入x2＝2y整理得：x2－2kx－2b＝0， x1x2x1，?，B?x2，?，则x1x2＝－2b＝－6，即b＝3， 设A?2?2???即直线AB：y＝kx＋3过定点D(0,3).8分 因为x1x2＝－6＜0，不妨设x1〈0〈x2， 11
S△ABO＋S△AFO＝|OD|(|x1|＋|x2|)＋|OF||x1|
2231321
＝(x2－x1)－x1＝x2＋≥22422x2
321x·＝37， 222x2
2
2
321
当且仅当x2＝即x2＝7时取等号.
22x2此时面积之和取最小值37.12分
(21)(本小题满分12分)
x(1－x2)1?
(Ⅰ)已知函数f(x)＝2，x∈??2，1?，求f(x)的最大值； x＋1
ax＋b(Ⅱ)已知函数g(x)＝2是定义在R上的奇函数，且当x＝1时取得极大值1.
x＋c(ⅰ)求g(x)的表达式；
1
(ⅱ)若x1＝，xn＋1＝g(xn)，n∈N＋，求证：
2(x2－x1)2(x3－x2)2(xn＋1－xn)23
＋＋…＋≤. x1x2x2x310xnxn＋1
(1－3x2)(x2＋1)－2x(x－x3)1－4x2－x45－(x2＋2)2【解析】(Ⅰ)f′(x)＝＝2＝. (x2＋1)2(x＋1)2(x2＋1)21?13
，1时，恒有f′(x)〈0，∴fmax(x)＝f??＝.3分 易知当x∈??2??2?10(Ⅱ)(ⅰ)由已知有g(0)＝0
ax
b＝0，则g(x)＝2，
x＋c
a(x2＋c)－2ax2ac－ax2
g′(x)＝＝2，
(x2＋c)2(x＋c)2∵当x＝1时g(x)取得极大值1，则g′(1)＝0又a≠0(否则有g(x)＝0，不合题意，则c＝1. 而g(1)＝
a
＝11＋1
a＝2，则g(x)＝
2x
.7分 x＋1
2a(c－1)＝0，
12xn(ⅱ)由x1＝及xn＋1＝g(xn)＝2易知xn〉0
2xn＋1xn(1－x2n)
xn＋1－xn＝2≥0
xn＋1
2xnxn＋1＝2＝
xn＋1
21xn＋
xn
≤1
1?
{xn}是满足xn＋1≥xn且xn∈??2，1?，n∈N＋， 则由(Ⅰ)知
xn(1－x23n)
xn＋1－xn＝2≤，9分
10xn＋1
1(xn＋1－xn)2(xn＋1－xn)3(xn＋1－xn)3?1
∴＝(xn＋1－xn)≤·＝x－x?，
10xnxn＋110?nn＋1?xnxn＋1xnxn＋1(x2－x1)2(x3－x2)2(xn＋1－xn)2
∴＋＋…＋
x1x2x2x3xnxn＋11131111
≤?x－x＋x－x＋…＋x－x? 10?1223nn＋1?131
＝?x－x?， 10?1n＋1?
1?111，1，则－而x1＝且xn＋1∈?∈[0,1]， ?2?2x1xn＋1
1(x2－x1)2(x3－x2)2(xn＋1－xn)23?13
∴＋＋…＋≤x－x?≤ 得证.12分
x1x2x2x310?1n＋1?10xnxn＋1
(二)选做题：共10分.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：错误!(α为参数，a∈R且a〉1)，以原点O为π
θ＋?＝－3. 极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos??4?π
θ＋?＝－3，求a的取值范围； (Ⅰ)若曲线C上存在点P其极坐标(ρ，θ)满足2ρcos??4?(Ⅱ)设M是曲线C上的动点，当a＝3时，求点M到直线l的的距离的最小值. x22
【解析】(Ⅰ)曲线C的方程可化为：2＋y＝1(a〉1)，
a直线l的方程化为直角坐标方程是：x－y＋3＝0，2分 据题意直线l与曲线C有公共点，
联立它们的方程并代入整理得：(a2＋1)x2＋6a2x＋8a2＝0， 则其判别式Δ＝36a4－32a2(a2＋1)≥0，
解之得：a≥22，即a∈[22，＋∞).5分
(Ⅱ)设M(3cos α，sin α)，点M到直线l的的距离为d， 则d＝
?2cos?α＋π?＋3?
?6??|3cos α－sin α＋3|?
2
＝
2
， dmin＝
12
＝.10分 22
(23)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|，x∈R，a≥1. (Ⅰ)求证：f(x)≥2；
(Ⅱ)若f(3)≤5，求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|x＋a－1－x＋2a|＝|3a－1|， 又a≥1，所以f(x)≥2；5分
(2)f(3)≤5即|a＋2|＋|2a－3|≤5， 即解：错误!或错误!或错误!
解之得：0≤a≤2，又a≥1，故所求的a的取值范围是[1,2].10分
选择题答题卡
题 号 答 案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 得 分
理科数学试题(附中版)-炎德·英才大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷
