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《不等式》全章复习与巩固 编稿：李霞 审稿：张林娟
【学习目标】
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力； 3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式； 4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】
不等式
不等关系与
不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域
基本不等式
简单的线性规划
【要点梳理】
要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c；
最大（小）值问题
a?b,c?d?a?c?b?d
(4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc；
a?b,c?0?ac?bc， a?b?0,c?d?0?ac?bd
(5) 乘方法则：a?b?0?a?b(n?N*且n?1) (6) 开方法则：a?b?0?nnna?nb(n?N*且n?1)
要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.
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要点二：三个“二次”的关系
一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0(a?0)的解集：
设相应的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等式的解的各种情况如下表：
??0 ??0 ??0 2222 二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象 一元二次方程有两相异实根有两相等实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集 x1,x2(x1?x2) b x1?x2??2a 无实根 ?xx?x或x?x? 12?b??xx??? 2a?? ? R ?xx1?x?x2? ? 解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：A?ax?bx?c(a?0) （2）计算判别式?，分析不等式的解的情况：
①??0时，求根x1,x2（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②??0时，求根x1?x2??③??0时，方程无解 （3）写出解集.
要点诠释：若a?0，可以转化为a?0的情形解决. 要点三：线性规划
用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
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2b； 2a三好高中生（ID：sanhao-youke），为高中生提供名师公开课和精品资料。
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
线性规划的有关概念： ①线性约束条件：
如果两个变量x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．
要点四：基本不等式 两个重要不等式
①a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号“=”）； ②基本不等式：如果a,b是正数，那么算术平均数和几何平均数 算术平均数：
22a?b?ab（当且仅当a?b时取等号“=”）. 2a?b称为a,b的算术平均数； 2几何平均数：ab称为a,b的几何平均数；
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用
，那么当x?y时，x?y有最小值2P； x,y?(0,??),且xy?P（定值）
12x,y?(0,??),且x?y?S（定值），那么当x?y时，xy有最大值S.
4要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件
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① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 几个常用变形不等式：
(a?b)2①a?b?（当且仅当a=b时等号成立）；
222②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）； ③
ab??2ba?a?b?0?；特别地：a?1?2?a?0?；
aa2?b2a?b2ab④ ?a,b?R??. ??ab?22a?b【典型例题】 类型一：不等式的性质
例1．若a,b为实数，则下列结论中正确的是（ ）
11或b? ba11B. 若0?ab?1，则a?或b?
ba11C. 若a?或b?，则0?ab?1
ba11D. 若a?或b?，则0?ab?1
baA. 若0?ab?1，则a?【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断. 【解析】若0?ab?1，则a,b同号.
1； b1当a?0,b?0时，由ab?1得b?.
a当a?0,b?0时，由ab?1得a?所以A项正确，B项错误. 由a??b?0,?b?0,11ab?1得a??0，即或? ?0，所以?bbb?ab?1.?ab?1.?a?0,1?a?0,得?或? a?ab?1.?ab?1.同理，由b?显然C项不正确. 同理D项也不正确.
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【总结升华】解答此类问题应注意一下几个方面： （1）准确理解不等式的性质；
（2）掌握作差法比较大小这种最基本的方法； （3）了解符号的运算规律；
（4）灵活利用特殊数值对结论进行检验. 举一反三：
cc?。 ab1【答案】因为a?b?0，所以ab>0，?0.
ab1111于是 a??b?，即?
ababbacc由c<0 ，得?
ab11【变式2】已知m,n?R，则?成立的一个充要条件是（ ）
mn【变式1】已知a?b?0,c?0,求证
A.m?0?n B.n?m?0 C.mn(m?n)?0 D.m?n?0 【答案】C
例2．已知函数f(x)?ax?c,满足?4?f(1)??1,?1?f(2)?5,那么f(3)的取值范围是 .
【思路点拨】将f(3)用f(1)及f(2)表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围. 【解析】
解法一：方程思想(换元)：
21?a??f(2)?f(1)???a?c?f(1)?3由? ，求得?
41?4a?c?f(2)?c??f(1)?f(2)?33?58f(1)?f(2) 3355208840,??f(2)?又 ??f(1)?
33333358∴ ?1??f(1)?f(2)?20，
33∴ f(3)?9a?c??即?1?f(3)?20。 解法二：待定系数法
设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)
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《不等式》全章复习与巩固
