多元复合函数求导和隐函数求导
这节内容比较难,听课要认真。要搞清我们学什么,要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。
一.显函数及复合函数
1.显函数:y?f(x)(显现出来y) z?f(x,y)(显现出z)
2,二元显函数求偏导:将一个固定,对另一变量求导。 3,复合函数:(复合函数是显函数) 一元:y?f(u) y?f(u,v)u??(x)?y?f(?(x)) 作图:y?u?x u??(x) u —— x
y v??(x)?y?f(?(x),?(x)) 作图: v —— x
二元: z?f[u(x,y),v(x,y)] (如z?
三元:如w?f(u)
4,链式:y环u环x → 一条链
u(x,y)) 作图:
v(x,y) u —— x z v —— y
u??(x,y,z) 作图:
x w——u —— y z
u —— x 两条链
y
v —— x
二、复合函数的求导: 链式法则: 一元:y?f(u) y?f(u,v)u??(x)?y?f(?(x))
dydydu ?dxdudxu??(x)v??(x)?y?f(?(x),?(x))
u —— x “一条链”+“另一条链”
dydydudydvy ?+ dxdudxdvdx v —— x
同理写出下列链式公式:
?z?z?u?z?v?+ u —— x ?x?u?x?v?xz ?z??z?u+?z?v v —— y
?y?u?y?v?y
?w?w?u ??x?u?x?y?u?y x ?w?w?u? w —— u —— y
z
例1 z?ulnv.u?2?w?w?u ??z?u?zx?z?z,v?3x?2y,求, y?x?y解:方法一: 把u,v代入直接求; 方法二:用链式法则
u —— x
z v —— y
?z?z?u?z?v1u2?+=2ulnv???3
?x?u?x?v?xyv
?z?z?u?z?vxu?+?2ulnv?(?2)??(?2) ?y?u?y?v?yvy?u?u?u,, ?x?y?z2例2 对抽象函数u?f(x,xy,xyz),求
解:令1?x,2?xy,3?xyz
1——x
?u=f1'?f2'?(xy)x'?f3'?(xyz)x' ?x?u=f2'?(xy)y'?f3'?(xyz)y' ?yu —— 2——y
3——z
?u=f3'?(xyz)z' ?z隐函数的求导
上节我们学了复合函数的求导法则:链式法则。今天我们开始学习隐函数的求导,首先我们要弄清什么是隐函数。 一、隐函数:(隐藏在方程中的函数) 一元:F(x,y)?0确定函数y?f(x)(如ex?y?y?1?0)
x?y?z二元:F(x,y,z)?0确定函数z?f(x,y)(如e?z?1?0)
由定义首先我们的问题是:什么情况下隐函数存在?若存在,又怎样对其求导? 对第一个问题,我们不做深入的研究。大家要知道160页定理2的前半部分说明隐函数的存在性。下面我们研究如何求导或偏导。 二、隐函数求导方法:
一元 F(x,y)?0 二元F(x,y,z)?0 隐函数存在性定理 隐函数存在定理
方法一:两边对x求导,把y看作f(x); 方法一:两边对x或y求导,把z看作f(x,y); (本质是复合函数F(x,y)求导y?f(x)) (本质是复合函数F(x,y,z)求偏导) 方法二:(公式法) 方法二:(公式法)
Fy'F'F'?z?zdy??x, ??x ??, ?xF'dxFy'?yFz'z
求法:
F(x,y)?0,把y看作f(x) F(x,y,z)?0,把z看作f(x,y) x x F F —— y x y —— x z y 两边对x求偏导, 两边对x求偏导,
?F?Fdy?F?Fdz??0 ??0 ?x?ydx?x?zdxF'F'?zdy??x, ??x ?xFz'dxFy'比较两种方法:其本质相同,但“形”上不同。第一种方法中,需要把把y看作f(x);而第二种方法是对F(x,y)而言。
例:由xy?lny?lnx?0确定的函数y?f(x),求y' 解:方法一:(两句话:两边对x求导,把y看作f(x))
多元复合函数求导和隐函数求导
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