多元复合函数求导和隐函数求导
这节内容比较难，听课要认真。要搞清我们学什么，要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。
一.显函数及复合函数
1.显函数：y?f(x)（显现出来y） z?f(x,y)（显现出z）
2，二元显函数求偏导：将一个固定，对另一变量求导。 3，复合函数：（复合函数是显函数） 一元：y?f(u) y?f(u,v)u??(x)?y?f(?(x)) 作图：y?u?x u??(x) u —— x
y v??(x)?y?f(?(x),?(x)) 作图： v —— x
二元： z?f[u(x,y),v(x,y)] （如z?
三元：如w?f(u)
4，链式：y环u环x → 一条链
u(x,y)） 作图：
v(x,y) u —— x z v —— y
u??(x,y,z) 作图：
x w——u —— y z
u —— x 两条链
y
v —— x
二、复合函数的求导： 链式法则： 一元：y?f(u) y?f(u,v)u??(x)?y?f(?(x))
dydydu ?dxdudxu??(x)v??(x)?y?f(?(x),?(x))
u —— x “一条链”＋“另一条链”
dydydudydvy ?＋ dxdudxdvdx v —— x
同理写出下列链式公式：
?z?z?u?z?v?＋ u —— x ?x?u?x?v?xz ?z??z?u＋?z?v v —— y
?y?u?y?v?y
?w?w?u ??x?u?x?y?u?y x ?w?w?u? w —— u —— y
z
例1 z?ulnv.u?2?w?w?u ??z?u?zx?z?z,v?3x?2y,求, y?x?y解：方法一： 把u,v代入直接求； 方法二：用链式法则
u —— x
z v —— y
?z?z?u?z?v1u2?＋＝2ulnv???3
?x?u?x?v?xyv
?z?z?u?z?vxu?＋?2ulnv?(?2)??(?2) ?y?u?y?v?yvy?u?u?u,, ?x?y?z2例2 对抽象函数u?f(x,xy,xyz)，求
解：令1?x,2?xy,3?xyz
1——x
?u＝f1'?f2'?(xy)x'?f3'?(xyz)x' ?x?u＝f2'?(xy)y'?f3'?(xyz)y' ?yu —— 2——y
3——z
?u＝f3'?(xyz)z' ?z隐函数的求导
上节我们学了复合函数的求导法则：链式法则。今天我们开始学习隐函数的求导，首先我们要弄清什么是隐函数。 一、隐函数：（隐藏在方程中的函数） 一元：F(x,y)?0确定函数y?f(x)（如ex?y?y?1?0）
x?y?z二元：F(x,y,z)?0确定函数z?f(x,y)(如e?z?1?0)
由定义首先我们的问题是：什么情况下隐函数存在？若存在，又怎样对其求导？ 对第一个问题，我们不做深入的研究。大家要知道160页定理2的前半部分说明隐函数的存在性。下面我们研究如何求导或偏导。 二、隐函数求导方法：
一元 F(x,y)?0 二元F(x,y,z)?0 隐函数存在性定理 隐函数存在定理
方法一：两边对x求导，把y看作f(x)； 方法一：两边对x或y求导，把z看作f(x,y)； （本质是复合函数F(x,y)求导y?f(x)） （本质是复合函数F(x,y,z)求偏导） 方法二：（公式法） 方法二：（公式法）
Fy'F'F'?z?zdy??x, ??x ??, ?xF'dxFy'?yFz'z
求法：
F(x,y)?0，把y看作f(x) F(x,y,z)?0，把z看作f(x,y) x x F F —— y x y —— x z y 两边对x求偏导， 两边对x求偏导，
?F?Fdy?F?Fdz??0 ??0 ?x?ydx?x?zdxF'F'?zdy??x, ??x ?xFz'dxFy'比较两种方法：其本质相同，但“形”上不同。第一种方法中，需要把把y看作f(x)；而第二种方法是对F(x,y)而言。
例：由xy?lny?lnx?0确定的函数y?f(x)，求y' 解：方法一：（两句话：两边对x求导，把y看作f(x)）
多元复合函数求导和隐函数求导
