第三章 力学量的算符表示
??β?α??β?=1， ?、β1．如果算符α满足条件α?2?β?2α???=2βαβ， 求证：
?3?β?3α?2?β?=3βα，
?n?β?nα?n?1?β?=nβα
???β?α?β?=1，以β左乘之得 [证] 利用条件α??1)β??β?2α??β?=β 则有 (α??β?α??β?=2β。 最后得 α2
2
?α??β?2α??β?=ββ
再以β左乘上式得
?
?(α?2?β?2α?2?α?2?β?3α?2?β?)=2β??2βββ=β， 即 ?3?β?3α?2??αβ=β3 则有
???
最后得 αβ?βα=3β
3
3
2
?n?β?nα?n?1?β?=nβ应用数学归纳法可以证明 α： ?
先设 αβ?
n?1
?n?1α?n?2?=(n?1)β?β 成立，
以β左乘上式得
??1)β??β则有 (αn
?α?n?1?β?nα?n?1?β?=(n?1)ββ
n?1n
n?1
?nα?n?1?=(n?1)β?β
??β?α??β?=nβ最后得 α 2．证明
?L?LL?)+(M?M?LM?)+L}{(L ?L?LL?)+(M?M?={(L
+
12
n
1
2
n
++nn?1+1+m
?B?+?)++B?++A(A 及， [证] 应用
???+?+???+?+?+???+
则 (L1L2LLn)=Ln(L1L2LLn?1)=LnLn?1(L1LLLn?2)=L=
?+)+LLM1 ++?+B?+B?)=A?+(A
+
m?1
}?+L?+LL?+L?+=Lnn?121 ?M?LM?)+=M?+M?+LM?+(M?12mmm11 同理可证
?L?LL?)+(M?M?LM?(L则 {12
n
1
2
+
?L??+???+)+L=(Lm12LLn)+(M1M2LMm)+L ?+L?+LL?+)+(M?+M?+LM?+)+L=(L
n
n?1
1
m
m?1
1
}{{}}
3．若算符e满足
?L
?2?nLL?++L+e=1+L+L
n!2!，
?L
求证：
1??1?????
?,a?e?L=a?+(L?)+(L?))+(L?))+LeLa,(L,a,(L,(L,a
2!3!
??)≡L?a???a?L 其中， (L,a
[证] 方法一：把e直接展开，比较系数法。
?L
?2?n?2?n????LLLnL??????+L?a?1?L++L+(?1)+L?eae=?1+L++L+?n!n!2!2!????
?2L122?22??1?31?3
?a?)+a?+(L??a?L?+a?L?a?L?(La?L)+La??a?L=a
2!2!2!2!3!3!
1??21?2?
?L?La?L+L+La2!2! ??)=L?a???a?L 而 (L,a
1??1???)=1L?L?a?a??L?a?+a?L??)=L??a?L??L?L?L?LL,(L,a,(La2!2!2!
1?21?22??
?+a?L?La?L=La2!2!2!
1???1??2
?2?2L?a?)?))=L?+a?L?LL,(L(L,a,(La
3!3!
1?31?31??21??
??a?L+La?L?La?L=La3!3!2!2!
?L
??L
[][]{}[][]…………
?e因此，把ea
?L??L
?的同次幂的系数合并之后，我们容易得到： 展开式的L
1??1?????
?,a?e?L=a?+(L?)+(L?))+(L?)))+LeLa,(L,a(L,(L,a
2!3!
??
?(s)=eSLa?e?SL 方法二：定义算符 a
?(s)对S的微商给出 其中S是辅助参数。则算符a
da(s)?SL????
?=(L?,a?e?SL?eSLa?e?SLL?(s))=Lea
ds ?(s)??da?(s)?d2a?,(L?,a?(s)))=L,??=(L2dsds??
…………
?(s)dna?(L?,(L?,L(L?,a?(s)))=(Ln1442443ds?
n个L
?(1)=ea?e取S=1，得a
?L??L
?(1)展开为麦克劳林级数 将a
?(0)1d2a?(0)da
?(1)=a?(0)+a++L
ds2!ds2
?(0)=a?，所以我们最后得到 按定义，a
1??1?????
?,a?e?L=a?+(L?)+(L?))+(L?)))+LeLa,(L,a,(L,(L,a
2!3!
???≠G?F?G?，向： 4．如果F,G都是厄密算符，但F
??G?F?G?是否厄密算符？ （1）F
（2）i(FG?GF)是否厄密算符？ [解] 利用厄密算符具有的性质
???
?B?+?)+=B?+A?+=C? 及 (AC
?=F??GF?G? （1）令C
?+=(F?)+?(G?F?+F?+=G?F?=?(F??G?F?G?)+=G?+?F?+G??F?G?G?)C 则
?≠F?时，C?≠C?+，故F??G?F?G?G?G?不是厄密算符。 当 F
（2）因i=?i，故
+
因此
??G?F??G?F??G?F??G?F?G?)]+=i+(F?G?)+=?i[?(F?G?)]=i[F?G?][i(F ??G?F?G?)i(F
是厄密算符。
?x≠p?xx，所以(xp?xp?xx)不是厄密算符，事实上?x都是厄密算符，且xp例如，x和p
?x?p?xx=ih显然不可能是厄密的。 xp
但是在
?L????Lxy?LyLx=ihLz中，把它改写为
?L????i(Lyx?LxLy)=hLz，显然左方是厄密算符。
??????+?
5．如果F,G都是厄密算符，而算符K±=F+iG，求证：K±=Km。
?+?++?+????+?
[证] K±=(F±+iG)=F±iG=FmiG=Km。
?h????2n
p6．试证明力学量所对应的算符是?i?，并进一步用数学归纳法证明力学量p所对应
?h????
的算符是?i?。
[证] 先证明一维情况，按定义
22px=∫C*(px,t)pxC(px,t)dp
n
2
i
(pxx′?Et)1**h′C(px,t)=ψ(x,t)edx1/2∫(2πh)， 而
?(pxx?Et)1h
C(px,t)=ψ(x,t)edx1/2∫(2πh)，
i
∴
利用恒等式
pxx′?pxx1*2h
p=ψ(x′,t)epxψ(x,t)ehdpdxdx′∫2πh 2x
ii
22
?pxx??h?d?hpxx2dh
=?pee=?he?22
dx?i?dx
ii2
?pxxpxx′??d12*2hh′Px=ψ(x,t)eheψ(x,t)dx??∫?dx′dpx2∫∫dx2πh?? 故
2
x
i?pxxh
2ii
由于：
iii
?pxx?pxx∞d2?hpxxd2d2
?h∫2eψ(x,t)dx=?hehψ(x,t)+h∫ehdψ?∞dxdxdx2
iii2
?pxx?ψ∞?pxx?ψd?hpxxdψ22
dx=hehdx=h∫e?h∫eh
2
dxdx?x?∞?x
2i
?pxx?h??=∫eh??ψdx
?i?x?
2
px(x′?x)?h??1*
h
p=∫∫∫ψ(x′,t)e??ψ(x,t)dxdx′dpx
?2πixh??故
2
x
i2
=
12πh
∫∫C(p,t)e
x
2
*
i?pxxh
?h??dpx??ψ(x,t)dx
ix???
2
?h??*2
?x=∫ψ*(x,t)?ψ(x,t)dx?ψ(x,t)dx=∫ψ(x,t)p
i?x??
?h??2
?x∴p→??
ix???
2
???h2
?yp→??i?y??
?? 同理
2
h???→?p??
?i?z?
2
h??p2→???
?i? 故
2z
2
?h?n?1
?→p???n
?p?i?可先设对于，
不难得出
n?1
成立，然后写出p的表示式，进行一次分部积分后，
n
h??→?p???
?i?
n
n
7．求：
?P??L?Lxy?Pxx=? ?P??P?L?=?L
yx
x
y
?P??L?Lzx?Pxz=?
????,p?Lp并由此推出Lx、y、Lz分别与yz的对易关系。 ?=yp?=zp?=xp?z?zp?yL?x?xp?y，L?y?yp?x Lz[解] x，y
h?x)=?,(y,p?x)=0,(y,p?z)=0,(z,p?x)=0(x,p
i且
?y)=0?,p?,p?(z,pp以及 xyz之间均可对易。
?p?=(yp?x?p?xL?z?zp?y)p?x?p?x(yp?z?zp?y)Lxx故
?zp?x?p?xp?z)?z(p?yp?x?p?xp?y)=0=y(p
?p?=(zp??p?L??xp?)p??p?(zp??xp?)L
y
x
x
y
x
z
x
x
x
z
?2x?p?2x)?(xp?x?p?xx)p?z==z(p
h?z=?ihp?zpi
h?p????y=ihp?yLpzx?pxLz=?
i同理
?y,p?zp
同理可证，对于
分别有
及
?p?????????????Lxy?pyLx=ihpz，Lypy?pyLy=0，Lzpy?pyLz=?ihpx
?p?p?p????????LL???Lxz?pzLx=?ihpyyz?pzLy=?ihpxzz?pzLz=0
，
，
一般地，我们可以将上述各式合并写为：
?p?=ih∈p?zLLi?j?pxijk?k 其中i,j,k为循环指标，而
?1,当i≠j≠k,且i,j,k为顺序循环时?
∈ijk=??1，当i≠j≠k,且i,j,k为逆序循环时
?0，当i=j时?
??
8．求 Lxx?xLx=?
?x?xL?=?Lyy ?x?xL?=?Lzz
?,L?,L?L
x
y
并由此推出z分别与
y,z的对易关系。
?x?xL?=(yp?z?zp?y)x?x(yp?z?zp?y)=0Lxx[解] ?x?xL?=(zp?x?xp?z)x?x(zp?x?xp?z)Lyy
?x?xL?=(xp?y?yp?x)x?x(xp?y?yp?x)Lzz
?xx?xp?x)?x2(p?z?p?z)=ihz =z(p
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