题组层级快练(十五)
1
1．y＝ln的导函数为( )
x1
A．y′＝－
xC．y′＝lnx 答案 A
11
解析 y＝ln＝－lnx，∴y′＝－. xx
x＋1
2．(2024·人大附中月考)曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率是( )
x－1A．2 1C. 2答案 D
（x＋1）′（x－1）－（x＋1）（x－1）′2
解析 y′＝＝－22，故曲线在(3，2)处
（x－1）（x－1）21
的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－2＝－，故选D.
（3－1）2
3．(2024·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2esinx在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A．y＝0 C．y＝x 答案 B
解析 ∵f(x)＝2esinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.
4．(2024·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l与曲线y＝x－x－2x＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l的斜率是( ) A．2 C．－1 答案 C
解析 设切点为(a，b)，∵f(x)＝x－x－2x＋1，∴b＝a－a－2a＋1.∴f′(x)＝3x－2x－2，则直线l的斜率k＝f′(a)＝3a－2a－2，则切线方程为y－(a－a－2a＋1)＝(3a－2a－2)(x－a)，
∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a－a－2a＋1)＝(3a－2a－2)(－1－a)．
3
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x
x
1
B．y′＝
xD．y′＝－ln(－x)
B．－2 1D．－ 2
B．y＝2x D．y＝－2x
B．1 D．－2
1
整理，得(a－1)·(a－1)＝0?a＝1或a＝－1. 当a＝1时，b＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a＝－1时，b＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a＝1，此时直线l的斜率k＝f′(1)＝－1，故选C.
1332
5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t－t＋2t，那么速度为零
32的时刻是( ) A．0秒 C．2秒末 答案 D
1332
解析 ∵s＝t－t＋2t，
32∴v＝s′(t)＝t－3t＋2.
令v＝0，得t－3t＋2＝0，t1＝1或t2＝2.
6．(2024·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(2 019)＝( ) A．1 C.1
2 019
B．2 D.2 020
2 019
x
x
2
2
2
B．1秒末 D．1秒末和2秒末
答案 D
解析 令e＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x. 112 020
求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 019)＝＋1＝.故选D.
x2 0192 019
7．(2024·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( ) A．f(x)＝3cosx C．f(x)＝1＋2sinx 答案 C
解析 A项中，f′(x)＝－3sinx是奇函数，图像关于原点对称，不关于y轴对称；B项中，12112
f′(x)＝3x＋2x＝3(x＋)－，其图像关于直线x＝－对称；C项中，f′(x)＝2cosx是
333偶函数，图像关于y轴对称；D项中，f′(x)＝e＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y轴对称．故选C.
ax
8．(2024·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实
x＋1数a的值为( )
2
2x
x
B．f(x)＝x＋x D．f(x)＝e＋x
x
32
3A. 23C．－
4答案 D
3B．－ 24D. 3
2ax（x＋1）－axax＋2ax3a4
解析 由f′(x)＝＝，得f′(1)＝＝1，解得a＝.故选D. 22（x＋1）（x＋1）4312
9．(2024·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝x·sinx＋xcosx，则其导函数f′(x)的图像
2大致是( )
22
答案 C
121212
解析 由f(x)＝xsinx＋xcosx，得f′(x)＝xsinx＋xcosx＋cosx－xsinx＝xcosx＋
222cosx.由此可知，f′(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项A，B.又f′(0)＝1，故选C.
10．设a∈R，函数f(x)＝e＋a·e的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a的值为( ) A．1 1
C. 2答案 A
解析 因为f′(x)＝e－ae，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.故选A. 11．(2024·河南息县高中月考)若点P是曲线y＝x－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( ) A．1 C.2 2
B.2 D.3
2
x
－xx
－x
1B．－ 2D．－1
答案 B
解析 当过点P的直线平行于直线y＝x－2且与曲线y＝x－lnx相切时，切点P到直线y112
＝x－2的距离最小．对函数y＝x－lnx求导，得y′＝2x－.由2x－＝1，可得切点坐标
xx为(1，1)，故点(1，1)到直线y＝x－2的距离为2，即为所求的最小值．故选B.
3
2
13－1
12．已知y＝x－x＋1，则其导函数的值域为________．
3答案 [2，＋∞)
13．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________． 答案 －120
解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
12
14．(2024·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx＋x＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则
2实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，1]
11
解析 由题意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得＋t＋a＝3，所以3－
xt1
a＝＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1. t
15．(2024·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 1
答案 log2e
2
11
解析 ∵y′＝，∴k＝. xln2ln21
∴切线方程为y＝(x－1)．
ln2
1111
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.
2ln22ln22
16．若抛物线y＝x－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________． 答案 4
解析 ∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5. 6＋c
又P(－2，6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.
－2
17．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x. (1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 12
答案 (1)f(x)＝－2x(x<0) (2)存在，x0＝
2
4
2
2
解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)＝－2x. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x.
(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，则f′(x0)＝g′(x0)，当x>0时，f′(x0)＝4x02
2
2
＝g′(x1x，解得，x11
0)＝0＝±.故存在x0＝2满足条件．
0218．(2024·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x3
＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 答案 (1)y＝13x－32
(2)直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f′(x)＝3x2
＋1.
所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13， 所以要求的切线的方程为y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x2
0＋1， 所以直线l的方程为y＝(3x2
3
0＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16. 又直线l过点(0，0)，则
(3x2
3
0＋1)(0－x0)＋x0＋x0－16＝0， 整理得x3
0＝－8，解得x0＝－2，
所以y3
0＝(－2)＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13， 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
5
2024高考数学大一轮复习第三章导数及其应用题组层级快练15导数的概念及运算文含解析
