（新高考）2024-2024学年1月份
数 学（四）
注意事项：
号位1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 封座 码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
密 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
号不场4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
考 第Ⅰ卷
订 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A?{x||x|?3}，B?{x|?1?x?5}，则A ?RB??（ ）
装 号证A．(?3,0) B．(?3,?1] C．(?3,?1) D．(?3,3)
考准答案：B 只 B?{x??1 由题知R或x?5}，又集合A?{x|x?3}?{x|?3?x?3}，
则ARB?(?3,?1]，故选B．
卷 2．已知a?3i i?b?i(其中a，b?R，i是虚数单位)，则a?b的值为（ ） 名A．?2
B．2
C．4
D．?4
姓答案：C 此 因为
a?3i i?b?i，所以a?3i??b?i?i?1?bi， 所以 a?1，b?3，a?b?4，故选C． 级3．若向量a，b满足|a|?1，|b|?2，且(a?b)?a，则a与b的夹角为（ ）
班A．
π 2 B．
2π C．
3π34 D．
5π6 答案：C
(a?b)?a，?(a?b)?a?0，即a2?a?b?0，
又|a|?1，|b|?2，
?1?1?2?cos?a,b??0，得cos?a,b???22， 而?a,b??[0,π]，??a,b??3π4，故选C． 4．若cos????π?2?4???6，则sin2?的值为（ ） A．
449 B．?9 C．
89 D．?89 答案：D 因为cos??π????4???26， 所以sin2??cos?π??2?2?????cos???2??π?2???2cos2??π?18???4???1?2?18?1??9，故选D．
5．如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，则既有上珠又有下珠的概率为（ ）
A．
57 B．
47 C．
327 D．
7 答案：A
从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数为n?C37?35， 既有上珠又有下珠的基本事件的个数为m?C12212C5?C2C5?25，
所以既有上珠又有下珠的概率为P?mn?2535?57，故选A． 6．过抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，且|AF|?2|BF|，则直线l的斜率可能为（ ） A．3 B．2
C．22 D．5 答案：C
设l的倾斜角为?，由抛物线焦半径公式可得AF?p1?cos?，BF?p1?cos?，
又|AF|?2|BF|，解得cos??1223，?sin??3， 所以k?tan??221?22，故选C．
7．函数f(x)?sin5xln|x|的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
由题意，函数f(x)?sin5xln|x|满足lnx?0且x?0，解得x?0且x??1． 又由f(?x)?sin(?5x)ln|?x|??sin5xln|x|??f(x)，所以函数f?x?为奇函数，排除D；
在区间???0,π?10??上，sin5x?0，lnx?0，则f?x??0，排除A； 在区间?7π???1,20??上，sin5x?0，lnx?0，则f?x??0，排除B， 故选C．
8．已知直线l:y?k(x?4)与圆(x?2)2?y2?4相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x?4y?6?0的距离的最大值为（ ） A．5 B．4
C．3
D．2
答案：B
直线l:y?k(x?4)经过定点??4,0?，
设A??4,0?，M(x,y)，则点B?2x?4,2y?，
因为点B在圆(x?2)2?y2?4上，故有?2x?4?2?2??2y?2?4，
化简整理得(x?3)2?y2?1，
所以点M的轨迹是圆心为??3,0?，半径为1的圆， 圆心??3,0?到直线3x?4y?6?0的距离为?9?69?16?3，
所以点M到直线3x?4y?6?0的最大距离为4，故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ）
A．已知x?R，则“|x?1|?1”是“x?0”的充分不必要条件
B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
y??0.3x?m，若样本中心点为(m,?2.8)，则m?4 C．若随机变量X?B(100,p)，且E(X)?20，则D??1?2X?1????5 D．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,??)上单调递减，f(1)?0，则不等式
f?log??0的解集为??1?2x??2,2??
答案：AB
A．x?1?1?0?x?2，由0?x?2能得出x?0，但x?0时，0?x?2不一定成立，充分不必要条件是成立的，A正确；
B．由?2.8?0.3m?m，得m?4，B正确； C．E(X)?100p?20，p?
15，D(X)?100?15?45?16， 所以D??1?2X?1????14D(X)?4，C错误； D．由题意?1?log2x?1，
12?x?2，D错， 故选AB．
10．已知函数f(x)?sin2x?23sinxcosx?cos2x，x?R，则（ ） A．?2?f(x)?2
B．f(x)在区间(0,π)上只有1个零点 C．f(x)的最小正周期为π D．x?23π为f(x)图象的一条对称轴 答案：AC
f(x)?sin2x?23sinxcosx?cos2x?3sin2x?cos2x?2sin(2x?π6)．
A：因为x?R，所以?2?f(x)?2，因此本选项说法正确；
B：当x?(0,π)时，2x?π6?(?π6,11π6)， 当2x?π6?0,π时，即当x?π7π12，12时，f(x)?0，
因此f(x)在区间(0,π)上有2个零点，因此本选项说法不正确；
C：f(x)的最小正周期为2π2?π，因此本选项说法正确； D：当x?22π2ππ3π时，f(3)?2sin(2?3?6)??1，显然不是最值，
因此本选项说法不正确， 故选AC．
?1,x?011．已知符号函数sgn(x)???0,x?0，下列说法正确的是（ ）
???1,x?0A．函数y?sgn(x)是奇函数
B．对任意的x?1，sgn(lnx)?1 C．函数y?ex?sgn(?x)的值域为(??,1) D．对任意的x?R，x?x?sgn(x)
答案：ABD
A．由函数的图象可知函数y?sgn(x)是奇函数，所以该选项正确；
B．因为x?1，所以lnx?0，所以对任意的x?1，sgn(lnx)?1，所以该选项正确；C．当x?0时，sgn(?x)??1，
因为此时ex?1，所以y?ex?sgn(?x)的值域为(??,?1)；
当x?0时，sgn(?x)?0，
因为此时ex?1，所以y?ex?sgn(?x)的值域为{0}；
当x?0时，sgn(?x)?1，
因为此时0?ex?1，所以y?ex?sgn(?x)的值域为(0,1)， 所以函数y?ex?sgn(?x)的值域为(??,?1)[0,1)，所以该选项错误；
D．当x?0时，x?sgn(x)?x?1?x?|x|；当x?0时，x?sgn(x)?x?0?0?|x|； 当x?0时，x?sgn(x)?x?(?1)??x?|x|，
所以对任意的x?R，x?x?sgn(x)，所以该选项正确， 故选ABD．
12．如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△AMB沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，
N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得CN?AB1 B．CN的长是定值
C．若AB?BM，则AM?B1D
D．若AB?BM?1，当三棱锥B1?AMD的体积最大时，三棱锥B1?AMD的外接球的表面积是4π答案：BD
对于A：如图1，取AD中点E，连接EC交MD于点F， 则NE∥AB1，NF∥MB1，可得到EN?NF，
(新高考)2024届高三1月数学(四)解析
