习题精解
7-1一条无限长直导线在一处弯折成半径为R的圆弧，如图7.6所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O处的磁感应强度。
解（1）如图7.6所示，圆心O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O位于直线电流AB和DE的延长线上，直线电流上的任一电流元在O点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB和DE段在O点不产生磁场。
根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O点产生的磁感应强度为 dB??0Idl 24?R方向垂直纸面向内。半圆弧在O点产生的磁感应强度为 B???R0?0Idl?0I?0I ??R?4?R24?R24R方向垂直纸面向里。
（2）如图7.6（b）所示，同理，圆心O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O位于电流AB和DE的延长线上，直线电流上的任一电流元在O点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB和DE段在O点不产生磁场。 根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O点产生的磁感应强度为 dB??0Idl
4?R2方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O点产生的磁感应强度为
?R B??20?0Idl?0I?R?0I ??4?R24?R228R方向垂直纸面向里。
7.2 如图7.7所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A电流，P点在折线的延长线上，设a为，试求P点磁感应强度。
解 P点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB和BC所产生的磁场叠加而成。AB段在P点所产生的磁感应强度为零，BC段在P点所产生的磁感应强度为 B??0I(cos?1?cos?2) 4?r0式中?1??2,?2??,r0?a 。所以
B??0I?(cos?cos?)?4.0?105(T) 4?a02方向垂直纸面向里。
7-3 如图7.8所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O点的磁感应强度。 解 圆心 O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB段在P点所产生的磁感应强度为 B??0I?cos?1?cos?2? 4?r01
式中?1?0,?2??6,r0?r2 ，所以
B??0I????0I?3?cos0?cos?1?????? 2?r?6?2?r?2??方向垂直纸面向里。
同理，DE段在P点所产生的磁感应强度为 B?圆弧段在P点所产生的磁感应强度为 B??0I?5?3???0I?cos?cos??1? ??????2?r?62??2?r??2?30?0Idl?0I2??0I ?r?224?r4?r36r?0I?3??0I?3??0I1??1?? ????????2?r?2?2?r?2?6rO点总的磁感应强度为
B?B1?B2?B3?方向垂直纸面向里。
7-4 如图7.9所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A、B两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O点的磁感应强度。
解 因为O点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O点不产生磁场，设第一段圆弧的长为l1，电流强度为I1，电阻为R1，第二段圆弧长为l2，电流强度为I2，电阻为R2，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 I1R1?I2R2 电阻R??1，而同一铁环的截面积为S和电阻率是相同的，于是有 S I1l1?I2l2
由于第一段圆弧上的任一线元在O点所产生的磁感应强度为 dB1??0I1dl
4?R2方向垂直纸面向里。
第一段圆弧在O点所产生的磁感应强度为 B1??l10?0I1dl?0I1l1 ?224?R4?R方向垂直纸面向里。
同理，第二段圆弧在O点所产生的磁感应强度为 B2?方向垂直纸面向外。
?l20?0I2dl?0I2l2 ?4?R24?R2 2
铁环在O点所产生的总磁感应强度为
B?B1?B2??0I1l1?0I2l2??0
4?R24?R27-5 在真空中有两根互相平行的截流长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流如图7.10所示，求L1,L2所决定的平面内位于L2两侧各距L2为0.05mI1?20A,I2?10A，
的a,b两点的磁感应强度为B。
解 截流长直导线在空间产生磁感应强度为 B??0I 2?x长直导线在a,b两点产生磁感应强度为 B1a?方向垂直纸面向里
长直导线L2在a,b两点产生的磁感应强度为 B2a?长直导线L2在a点产生磁感应强度为 Ba?B1a?B2a?方向垂直纸面向里
在b点产生磁感应强度为
?0I1?0I1 ,B1b?2??0.052??0.15?0I2?0I2 ,B2b?2??0.052??0.05?0I1?0I2??1.2?10?4(T)
2??0.052??0.05Bb?B1b?B2b??0I1?0I2???1.33?10?5(T)
2??0.152??0.05方向垂直纸面向外
7-6 如图7.11（a）所示载流长直导线中的电流为I，求通过矩形面积CDEF的磁通量。 解 在矩形平面上取一矩形面元dS?ldx（如图7.11（b））截流长直导线的磁场穿过该面
?0I?IdS?0ldx 2?x2?xb?I?Ilb0通过矩形面积的总磁通量为 ?m??ldx?0ln
a2?x2?a7-7 一载流无限长直圆筒，内半径为a，外半径为b，传到电流为I，电流沿轴线方向流动，
元的磁通量为 d?m?并均匀的分布在管的横截面上，求磁感应强度的分布。
解 建立如图7.12所示半径为r的安培回路，由电流分布的对称性，L上各点B值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有
??B?dl???cos?dl?B??dl?B2?r??I?
0LLL?0I?可得 B?
2?r其中I?是通过圆周L内部的电流.
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《大学物理》 第二版 课后习题答案 第七章
