(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
解析1：（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD+AD= AB，故BD ?AD;又PD ?底面ABCD，可得BD ?PD
2
2
2
所以BD ?平面PAD. 故 PA?BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。 uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)
????z P ??n?AB?0设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则?, ??n?PB?0 即 D C ?x?3y?03y?z?0x
A B y 因此可取n=(3,1,3)
设平面PBC的法向量为m，则 ???m?PB?0
??m?BC?0可取m=（0，-1，?3） cosm,n??427 ??727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）（本小题满分12分）
27 7某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为 X的数学期望值EX=-2×（20）（本小题满分12分）
X -2 2 4 0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
22?8=0.3，所以用A配方生产的10032?10?0.42，所以用B配方生产的产品的100P 0.04 0.54 0.42 uuuruur 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， uuuruuuruuuruurMA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
解析; (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuuruuuruuur所以MA=（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).
ruuuruuuruuu再由题意可知（MA+MB）? AB=0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=
12x-2. 41211x-2上一点，因为y'=x,所以l的斜率为x0 422(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=
因此直线l的方程为y?y0?12?0。 x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x02.又y0?则o点到l的距离d?2|2y0?x0|2x0?412x0?2，所以 412x0?41422d??(x0?4?)?2,
222x0?4x0?4当x0=0时取等号，所以o点到l距离的最小值为2. （21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?2alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。 x?1x（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxk?，求k的取值范围。 x?1x?(解析：（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)bx ?22(x?1)x
?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即
2f'(1)??,??2?b?1,??a1
?b??,??22
解得a?1，b?1。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1x
lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。 2x?1x1?xx(k?1)(x2?1)?2x(k?1)(x2?1)(x?0)，则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?。 2xxk(x2?1)?(x?1)2h'(x)?0，(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h(x)递减。而h(1)?0故当x?(0,1)x2时， h(x)?0，可得
1h(x)?0； 21?x1 h（x）>0 1?x2当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得
从而当x>0,且x?1时，f（x）-（
lnxklnxk+）>0，即f（x）>+. x?1xx?1x2(?（ii）设0 1?)x=2(k?1)x2?2x?k?1的图像开口向下，且 112 '?1当x?（1，）时，（k-1）（x+1）+2x>0,故h (x）>0,1?k1?k. <0,与题设矛 而h（1）=0，故当x?（1，盾。 11）时，h（x）>0，可得h（x）21?k1?x（iii）设k?1.此时x?1?2x，(k?1)(x?1)?2x?0?h（x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得 22'1 h（x）<0,与题设矛盾。 21?x 综合得，k的取值范围为（-?，0] 点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为 ?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的 长为m，AC的长为n,AD，AB的长是关于x的方程x?14x?mn?0的两个根。 （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD?AB?mn?AE?AC 即 2ADAE?.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ACAB 所以C,B,D,E四点共圆。 （Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.AB=12. 取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂 2 故 AD=2， 线，两垂线相交 于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 0 1(12-2)=5. 2故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 ?x?2cos?（?为参数） ?y?2?2sin??M是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程 (Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??与C2的异于极点的交点为B，求AB. uuuvuuuv?3与C1的异于极点的交点为A， 解析; （I）设P(x,y),则由条件知M( xy,).由于M点在C1上，所以 22?x??2cos?,???x?4cos???2??? 即 ?? yy?4?4sin?????2?2sin???2???从而C2的参数方程为 ?x?4cos?（?为参数） ??y?4?4sin?（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?。 射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin?3， 射线???3与C2的交点B的极径为?2?8sin?3。 所以|AB|?|?2??1|?23. (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。 （Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。 解析：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。 由此可得 x?3或x??1。 故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。 ( Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组??x?a?x?a 或? ?x?a?3x?0?a?x?3x?0?x?a?x?a???a?a即 x? 或x?? ???2?4因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??a2? 由题设可得? a= ?1，故a?2 2
#2011年高考试题（新课标卷）数学（理）解析版
