2011年普通高等学校招生全国统一考试
(新课标)理科数学解析
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i的共轭复数是 1?2i（A）?i （B）i （C）?i （D）i
3535解析：
2?i(2?i)(1?2i)?i,共轭复数为C =
51?2i（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （0，+?）（A）y?x3 (B) y?x?1 （C）y??x2?1 (D) y?2解析:由图像知选B
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040
解析：框图表示an?n?an?1，且a1?1所求a6?720 选B
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，
每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
?x
1123（A） （B） （C） （D）
3234解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=
31
?选A 93
（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则cos2?=
cos2??sin2?1?tan2?3???解析：由题知tan??2,cos2??选B 222cos??sin?1?tan?54334（A）? （B）? （C） （D）
5555（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D
（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A）2 （B）3 （C）2 （D）3
2b2?2a得b2?2a2?a2?c2?2a2，选B 解析：通径|AB|=aa??1??（8）?x???2x??的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
x??x??（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 解析1.令x=1得a=1.故原式=
51111(x?)(2x?)5。(x?)(2x?)5xxxx的通项
Tr?1?C5r(2x)5?2r(?x?1)r?C5r(?1)r25?rx5?2r，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1
得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出选3个提出x.
23(2X)2?C3(?故常数项=X?C5111；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，xxx1312123)??C5(?)?C3(2X)3=-40+80=40 XXX（9）由曲线y?x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为
（A）
1016 （B）4 （C） （D）6 3343221164解析;用定积分求解s??(x?x?2)dx?(x?x2?2x)|0?，选C
3230（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题
?2?P:a?b?1???0,1??3??2??P:a?b?1???,?? 2????3???????P3:a?b?1????0,? P4:a?b?1????,??
?3??3?其中的真命题是
（A）P1,P3 （C）P2,P3 （D）P2,P4 1,P4 （B）P1解析：a?b?a2?b2?2abcos??2?2cos??1得， cos???，
2?2?????0,?31?22?。由a?b?a?b?2abcos??2?2cos??1得cos??
2????????,??。 选A
?3?（11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,???2)的最小正周期为?，且
f(?x)?f(x) ，则
??单调递减 ??????3? （A）f(x)在?0,?单调递减 （B）f(x)在?,?44?2???? （C）f(x)在?0,?单调递增
?2???3?（D）f(x)在?,?44??单调递增 ?解析：f(x?)2?s?i?xn?(4?)??2，又，所以f(x)为偶函数，
????4??2?k??????k?,k?z，?f(x)?2sin(2x?)?2cos2x，选A
42?(12)函数y?1的图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有交点的横坐标之和等于 1?x （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 解析：图像法求解。y?1的对称中心是（1,0）也是y?2sin?x(?2?x?4)的中心，?2?x?4x?1他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，则x1?x8?x2?x7?x3?x6?x4?x5?2，所以选D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
?3?2x?y?9,（13）若变量x,y满足约束条件?则z?x?2y的最小值为 。
6?x?y?9,?解析：画出区域图知，
?2x?y?3当直线z?x?2y过?的交点(4,-5)时，zmin??6
x?y?9?（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为
2。过F1的直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为 。 2?c2x2y2???1为所求。 解析：由?a2得a=4.c=22,从而b=8,??168?4a?16?（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6,BC?23,则棱锥
O?ABCD的体积为 。
解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=1(23)2?62?23, 21OM=42?(23)2?2，VO?ABCD??6?23?2?83. 3（16）在VABC中，B?60,AC?3，则AB?2BC的最大值为 。 解析：A?C?1200?C?1200?A,A?(0,1200),
BCAC??2?BC?2sinA sinAsinBABAC??2?AB?2sinC?2sin(1200?A)?3cosA?sinA； sinCsinB?AB?2BC?3cosA?5sinA?28sin(A??)?27sin(A??)，故最大值是27
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a3?9a2a6.
2（Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
?1?（Ⅱ）设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列??的前n项和.
?bn?2322解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?1。 9由条件可知a>0,故q?1。 31。 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?故数列{an}的通项式为an=
1。 n3（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an
??(1?2?...?n)n(n?1)??2故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?1所以数列{12n}的前n项和为? bnn?1(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
#2011年高考试题（新课标卷）数学（理）解析版
