因为平面SAB?平面ABCD，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，
令r1为?SAB外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos?SBA?∴sin?SBA?2, 3399AD5??1, ，∴2r1?，∴r1?，又OF=sin?SBA5252381101?1? ， 2020222可得R?r1?OF，
计算得，R?22所以S?4?R?故答案为
101?. 5101?. 5【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
17．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模 解析：23 【解析】 【分析】 【详解】
rrrr0b?1 ∵平面向量a与b的夹角为60，a?2，rr∴a?b?2?1?cos600?1.
rr2r2rrr2rr∴a?2b?(a?2b)?a?4a?b?(2b)?4?4?4?23 故答案为23.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a?a?a 常用来求向量的模．
rrr18．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025
解析：20 25 【解析】 设这三个数：
、
、
（或
），则
、
、
成等比数列，则
（舍），则原三个数：15、20、25
19．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域
解析：??3,1?
【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足3?2x?x2?0?x2?2x?3?0??3?x?1，函数定义域为?3,1 考点：函数定义域
??20．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB中点为D先求出再求PM的最小值得解【详解】设圆心为OAB中点为D由题得取AC中点M由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM最小当圆弧AB的圆心与点PM共线时PM最
解析：5﹣213 【解析】 【分析】
uuuruuuruuuur21uuur2uuuur29设圆心为O,AB中点为D,先求出PC?PA?PM?AC?PM?，再求PM的最小
44值得解. 【详解】
设圆心为O,AB中点为D,
由题得AB?2?2?sin?6?2,?AC?3.
uuuvuuuvuuuuv?PA?PC?2PMvuuuvuuuv, 取AC中点M，由题得?uuu?PC?PA?ACuuuruuuruuuur21uuur2uuuur29两方程平方相减得PC?PA?PM?AC?PM?，
44uuuruuur要使PC?PA取最小值，就是PM最小，
当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小. 此时DM=
21113, ,?DM?()2?3?222所以PM有最小值为2﹣代入求得PC?PA的最小值为5﹣213． 故答案为5﹣213 【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
uuuruuur13， 2三、解答题
n21．（1）an?2； （2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）由等比数列前n项和公式求出公比q和首项a1，得通项公式； （2）用裂项相消法求出和Tn，可得结论． 【详解】
（1）设等比数列的首项及公比分别为a1?0，q?0，
QS2?6，S3?14，显然q?1，
?a11?q2??61?q?a1?2???，解得?， 3q?2??a11?q?14?1?q??????an?2n；
（2）证明：由（1）知，bn?n，则
1111???， bnbn?1n(n?1)nn?1?Tn?b1?b2????bn?1?bn
?1?11111111??????????1?, 223n?1nnn?1n?1Qn?N*,
?Tn?1．
【点睛】
本题考查等比数列的前n项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列
求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和． 22．(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】
2Sn（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1??Sn﹣Sn﹣1＝Sn?Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得
Sn?1111??1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列； SnSn?1Sn（2）利用Sn?【详解】
2Sn（1）当n?2时，Sn?Sn?1?，
Sn?1211??n2n2?11?11????进行放缩并裂项求和即可证明
2?n?1n?1?Sn?1?Sn?SnSn?1，即
11??1 SnSn?1?1?从而??构成以1为首项，1为公差的等差数列．
?Sn?11???n?1??1?n，?Sn?1． （2）由（1）可知，
SnS1n则当n?2时Sn?2111?11??????． n2n2?12?n?1n?1?1?1?1?11?1?11?222?故当n?2时S1?S2?L?Sn?1??1???????L??? 2?3?2?24?2?n?1n?1?1?111?137?1??1????1??? ?2?2nn?1?2242又当n?1时，S1?1?77222满足题意，故S1?S2?L?Sn?． 44法二：则当n?2时Sn?21111???， 22nn?nn?1n1?11??11?1?717?1?????????L?????? 4?23??34??n?1n?4n4222那么S1?S2?L?Sn?1?2又当n?1时，S1?1?772，当时，S1?1?满足题意， 44【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题． 23．（1）
1 ； （2）E(X)?1. 3【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
11C3?C4?C321?， （1）由已知有P(A)?2C103所以事件A的发生的概率为
1； 3（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2；
1111C32?C32?C424C3?C3?C3?C47P(X?0)??P(X?1)??；； 2215C10C101511C3?C44P(X?2)??； 2C1015所以随机变量X的分布列为：
X P 0 1 2 4 157 154 15数学期望为EX=0?【点睛】
()4741?2?1. 151515本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．
24．（1）800?4sin?cos??cos??， 1600?cos??sin?cos??, ?,1?；（2）【解析】
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin?的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
?1??4??． 6详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
2019年温州市高三数学下期末试题(附答案)
