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2024.8
高考数学一轮复习课时试题及解析
课时作业(二十四) [第24讲 平面向量的概念及其线性运算]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1． 如图K24－1，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→
＝( )
图K24－1
A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→
2． 设非零向量a，b，c，若p＝a|a|＋b|b|＋c
|c|
，那么|p|的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[1,2]
3． 已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6
4． 如图K24－2所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→
＝( 图K24－2 A.OH→ B.OG→ C.FO→ D.EO→ 能力提升
5．已知λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a|
1
)
D．|λa|＞0
6． △ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为( )
πππ2πA. B. C. D. 6323
→→→→→→
7．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
→→
8． 如图K24－3，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F.设AB＝a，AC＝→
b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为( )
图K24－3 11?A.??2，2? 22?B.??3，3? 11?C.??3，3? 21?D.??3，2?
图K24－4 →1→→→2→
9． 如图K24－4，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，
311
则实数m的值为________．
→3→1→
10． 若M为△ABC内一点，且满足AM＝AB＋AC，则△ABM与△ABC的面积之比
44
为________．
11．设a、b为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa＋μb＝0，则称a、b线性相关，下面的命题中，a、b、c均为已知平面M上的向量．
①若a＝2b，则a、b线性相关；
②若a、b为非零向量，且a⊥b，则a、b线性相关； ③若a、b线性相关，b、c线性相关，则a、c线性相关； ④向量a、b线性相关的充要条件是a、b共线．
上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)
12．(13分) 如图K24－5所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N
→→→→→
分别是DC、AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a，b，c表示BC，MN.
图K24－5
2
难点突破
13．(12分) 如图K24－6，G是△ABC的重心，OG延长线交AB于点M，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
→→→→→
(1)设PG＝λPQ，将OG用λ、OP、OQ表示；
11→→→→
(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．
xy图K24－6
3
课时作业(二十四)
【基础热身】
→→→→→→→→→
1．D [解析] BA＋CD＋EF＝BA＋AF－BC＝BF－BC＝CF，所以选D.
abc
2．C [解析] 因为，，是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p|的最大值为
|a||b||c|3.
3．D [解析] 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， ∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.
→→→→
4．C [解析] 设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现→a＝FO.
【能力提升】
5．C [解析] 当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以B不正确；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．
πa
6．B [解析] 由sinB＝1?B＝，在△ABC中cosC＝，
2b
b1π
又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q?2a－b＝0?a＝，故cosC＝?C＝. 223
7．B [解析] 由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D， →2→→→→→则AM＝AD①，因为AD为中线，则AB＋AC＝2AD＝mAM，
3→→
即2AD＝mAM②，联立①②可得m＝3，故B正确． 8．C [解析] ∵AD＝DB，AE＝EC，
→1→
∴F是△ABC的重心，则DF＝DC，
3
→→→→1→→1→→∴AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋(AC－AD)
33
2→1→1→1→＝AD＋AC＝AB＋AC， 333311∴x＝，y＝.
333→→→2→→→3→→＝1AC9. [解析] AP＋NP＝mAB＋AC，NP＝mAB－AC. 1141144→→→3→→→→1→→→→1→→3→NB＝NC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，设NP＝λNB，则λAB－λAC＝mAB－AC，
44444
3
m＝λ＝. 111→→→→→→10. [解析] 由题知B、M、C三点共线，设BM＝λBC，则：AM－AB＝λ(AC－AB)， 4→→→∴AM＝(1－λ)AB＋λAC，
1∴λ＝，
4S△ABM1∴＝. S△ABC4
11．①④ [解析] ②若a⊥b，则a、b不线性相关，命题错误；③b为零向量时，命题错误．
→→→→＝BA12．[解答] BC＋AD＋DC＝－a＋b＋c，
→→→→∵MN＝MD＋DA＋AN，
1→→→→→1→
又∵MD＝－DC，DA＝－AD，AN＝AB，
22
4
1→1
∴MN＝a－b－c.
22
【难点突破】
→→→→→
13．[解答] (1)OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ →→→→→＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ. (2)证明：由(1)，得 →→→→→OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB.① ∵G是△OAB的垂心，
→2→21→→1→1→∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②
33233→→
而OA、OB不共线，
1
?1－λ?x＝，3
∴由①②，得.
1λy＝
3
???
?解之，得?1
?y＝3λ，
1
＝3－3λ，x
1111
∴＋＝3，即＋是定值． xyxy
5
人教A版理科数学课时试题及解析(24)平面向量的概念及其线性运算
