???cov，y?其中： ?yi?1???x?x???
i???y?cov? ?covyi，?yi，?1?1n???cov，?yin?yi??
i?1??12??n????xi-x??
???n?，xi-xcov??yi?i?1???x-x?iLxx?yi?? ? ?
?x?x??2i2L
xx??1 ????n??x?x??2iLxx?????2
注：各个因变量
var(X
y，y......y12n是独立的随机变量
?Y)?var(X)?var(Y)?2cov(X,Y)
?22.10 用第9题证明???ei22n-2是?的无偏估计量
n??2?1??E 证明：E????n-2?i?1???y?y??ii2
1n?2?E?ei? ??n-2i?1??1nvar?ei? ??n-2i?1?n1?1-1-??
n-2i?1?n???x-x?Lixx2??2?? ?? ?1?n?2??2 n-22 ?? 注：var(X)?E(X)?2?E(X)?
22.11验证证明：
F?r2?FF?n?2
SSRSSE(n?2)SSE(n?2)??SSR?SSRF ???*(n?2)所以有
?SSE?1F?rF?n?2?(n?2)??SSR1??F??
以上表达式说明r 2与F 等价，但我们要分别引入这两个统计量，而不是只引入其中一个。理由如下：
①r 2与F，n都有关，且当n较小时，r较大，尤其当n趋向于2时，|r|趋向于1，说明x与y的相关程度很高；但当n趋向于2或等于2时，可能回归方程并不能通过F的显著性检验，即可能x与y都不存在显著的线性关系。所以，仅凭r较大并不能断定x与y之间有密切的相关关系，只有当样本量n较大时才可以用样本相关系数r判定两变量间的相关程度的强弱。
② F检验检验是否存在显著的线性关系，相关系数的 显著性检验是判断回归直线与回归模型拟合的优劣，只有二者结合起来，才可以更好的回归结果的好坏。
2?SSRSSR1??SSTSSR?SSE1?SSE?????2.12 如果把自变量观测值都乘以2，回归参数的最小二乘法估计?0和?1会发生??什么变化？如果把自变量观测值都加上2，回归参数的最小二乘估计?0和?1会发生什么变化？ 解:
解法（一）：我们知道当
yi??0??1xi??i，
E(yi)??0??1x时，用最小二乘法估
????0计的和1分别为
⑴当
xi??2xi时
有错误!未找到引用源。
将②③带入①得到
x???2?xi⑵当i时源。
有错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 将②③带入①得到·
错误!未找到引用
解法（二）： 当
yi??0??1xi??in，
E(yi)??0??1x2n时，有
Q(?0，?1)=?(yi?E(yi))??(yi??0??1xi)2i?1i?1
当
xi??2xi时
yi???0?2?1xi??i?yi??1xiE(yi?)??0?2?1xi
Q(?0，?1)?=?(yi??E(yi?))2??(yi??1xi??0?2?1xi)2??(yi??0??1xi)2i?1i?1i?1nnn
当
xi???xi?2n ，
yi????0??1xi?2?1??i?yi?2?12n ，
E(yi??)??0??1xi?2?12nQ(?0，?1)??=?(yi???E(yi??))??(yi?2?1??0??1xi?2?1)??(yi??0??1xi)2i?1i?1i?1由
最小二乘法可知，离差平方和
Q(?0，?1)=Q(?0，?1)??Q(?0，?1)??时，其估计值应
当有错误!未找到引用源。 。
????0即回归参数的最小二乘估计和1在自变量观测值变化时不会变。
2.13 如果回归方程错误!未找到引用源。相应的相关系数r很大，则用它预测时，
预测误差一定较小。这一结论能成立吗？对你的回答说明理由。
解：这一结论不成立。因为相关系数r表示x与错误!未找到引用源。线性关系的密切程度，而它接近1的程度与数据组数有关。n越小，r越接近1。n=2时，|r|=1。因此仅凭相关系数说明x与有密切关系是不正确的。只有在样本量较大时，用相关系数r判定两变量之间的相关程度才可以信服，这样预测的误差才会较小。
2.14 解：（1）散点图为：
（2）x与y大致在一条直线上，所以x与y大致呈线性关系。 （3）得到计算表： X Y (Yi?Y)2?y(Xi?X)2 (Xi?X)(Yi?Y)Y? i 20 10 6 13 ??Y)2(Yi??Y)2(Yii1 2 10 10 4 1 100 100 （-14）2 （-4）2 （-7）2 （3）2 3 4 5 20 20 40 0 1 4 0 0 400 Lyy=600 0 0 40 和Lxy=70 20 27 34 0 72 142 0 72 （-6）2 和100 和15 Lxx=10 均3 均 20 和SSR=490 SSE=110 100 均20
????X??1?7X??? 所以回归方程为： Y01?1n1110??(yi?yi)SSE??n-2i=13 （4）=n?2??22 所以，
??1330?6.13
?1(x)?2?1(x)22?(?)?0:N(?0,(?)?)???t2nLxx?；?nLxx（5）因为 ，0的置信区间为0
?2Lxx，所以，?1的置信区间为 同理，因为Lxy70???Y???X?20?3?7??1.?1 ???t7,?0(3)?3.1821t?/L(n?2)?查表知，2100.025xx所以，
?1:N(?1,??2)???1?t??2?Lxx。
??0的置信区间为（-21.21,19.21），
??1的置信区间为（0.91,13.09）。
SSRSSR490（6）决定系数 R2????0.817SSTLyy600
（7）计算得出，方差分析表如下： 方差来源 SSR SSE SST 平方和 490 110 600 自由度 1 3 4 均方 490 36.667 F值 13.364
应用回归分析 - 第2章课后习题参考答案
