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专题三 压轴解答题
第六关 以数列与不等式相结合的综合问题
【名师综述】
数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．
类型一 求数列中的最值问题
典例1【湖南省长沙市2024届高三上学期统一检测】已知数列都有（Ⅰ）求数列（Ⅱ）求使【解析】（Ⅰ）令又由故数列于是
是首项
，
.
得，
知，公差
的等差数列， .
，
，数列的通项公式；
成立的最小正整数的值.
，解得
.
，
满足
，
. 的首项
，
，且对任意的
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
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于是令又故使
，易知
，
是关于的单调递增函数，
，
.
[来源:学科网]
成立的最小正整数的值是10.
【名师指点】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求．
【举一反三】【山东省恒台第一中学2024届高三上学期诊断性考试】在数列
（1）求数列
的通项公式；学_科网
中，前n项和为
（2）项和，若恒成立，求k的最小值.
【解析】（1）因为所以相减得：所以所以（2）
，所以
是首项为1，公差为1的等差数列
所以
因为
恒成立，所以
，即
.
类型二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
典例2 【河南省部分省示范性高中2024-2024学年高三数学试卷】已知等差数列是方程
的两根，数列
的前项和为，且满足
16
的公差，其中
.
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（1）求数列（2）设数列
，的通项公式；
，且
，若不等式
的两根为-1和7，因为
.
，得
；
对任意，所以
都成立，求整数的最小值. ，
.
的前项和为
【解析】（1）易得方程所以当
时，由
，所以
当时，可得，两式相减得，即.
所以.
（2）由（1）得，所以
，
， ，
两式相减得，，
，
所以当所以从而
时，的最大值为
，得
. ；当
，
，所以整数的最小值为-4.
时，
；当
时，因为
，所以
.
【名师指点】求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数为D，则当x?D时，有
f?x?在定义域
；(2)
f?x??M恒成立
?f?x?min?M；
f?x??M恒成立
?f?x?max?M利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．
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【福建省福州市2024届高三第一学期质量抽测】在数列【举一反三】中，，，设
，
（Ⅰ）求证数列（Ⅱ）设
是等差数列，并求通项公式； ，且数列
的前项和，若
，求使
恒成立的的取值范围.
【解析】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，，
所以，，所以
，
又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列
的通项公式为：
.
证法二：由条件，得
又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列
的通项公式为：
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 则
，① ②
由①-②得，
∴
∵，∴恒成立，等价于对任意恒成立.
∵，
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∴.
类型三 数列参与的不等式的证明问题
典例3[山东省济宁市2024届高三上学期期末考试已知数列
，且和共线．
(I)求数列
的通项公式；
的前项和为，向量
(Ⅱ)设【解析】 (I)当当数列
时，时，
和共线，
，且数列
，得
，
的前项和为，求证：．
，即
是公比为2，首项为2的等比数列.
(Ⅱ)由(I)知
，
所以
所以
【名师指点】此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．
【举一反三】[四川省广元市高三2024届第一次高考适应性统考]设为数列对任意（1）求数列（2）若数列【解析】（1）因为
，都有
的通项公式；
的前项和为
，当
，证明：
时，
16
的前项和，已知，
.
..
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专题3.5 以数列与不等式相结合的综合问题为解答题-2024年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)参照模板
