??l2??l2??7122 ???Iz?ml?m????ml?????3??4??2??483.7 答 任一瞬时，作平面平行运动的刚体上或与刚体固连且与刚体一起运动的延拓平面总有也仅有一点的瞬时速度为零（转动瞬心）从运动学观点看由（3.7.1）式
v?vA?ω?r??vA?ω??r?r0?
知选此点的基点较好，这样选基点，整个刚体仅绕此点作瞬时转动从（3.7.4）式
a?aA?dω?r??r?ω2 dt可知，求加速度时选加速度为零的点为基点较方便，但实际问题中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。
从动力学角度考虑，选质心为基点较好，因质心的运动可由质心运动定理解决；而且质点系相对质心的动量矩定理于对固定点的动量矩定理具有相同的形式，亦即刚体绕过质心与平面垂直的轴的转动可用刚体绕定轴转动的定律去解决。
因刚体上不同点有不同的速度和加速度，基点选取的不同，则（3.7.1）和（3.7.4）式中
vA,aA不同，即vA和aA与基点有关；又任一点相对基点的位矢r?于基点的选取有关。故
任一点绕基点转动速度ω?r?，相对基点的切线加速度
dω?r?和相对基点的向心加速度dtdω也与基点选取dt角速度ω为刚体各点所共有与基点选取无关，故?r?2与基点选取有关；
无关；基点选取的不同是人为的方法，它不影响刚体上任一点的运动，故任一点的速度v,a与基点的选取无关。这也正是基点选取任意性的实质所在。
3.8 答 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动
3.9 答 转动瞬心的瞬时速度为零，瞬时加速度并不为零，否则为瞬时平动瞬心参考系是非惯性系，应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果，惯性力系的主矩一般不为零（向质心简化的结果惯性力系的主矩为零），故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式；另外，转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变，（质心在刚体上的位置是固定的），
故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程，即瞬心参考系具有不定性；再者，瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。
3.10 答 因圆柱体沿斜面滚下时，圆柱体与斜面之间的反作用力不做功，只有重力作功，故机械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此过程中由于圆柱体只滚动不滑动，摩擦力做功为零，故不列入摩擦力的功，也正是摩擦力不做功才保证了机械能守恒；若圆柱
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体即滚且滑的向下运动，摩擦力做功不为零免责必须列入摩擦力的功。机械能不守恒，必须用动能定理求解。在纯滚动过程中不列入摩擦力的功并不是没有摩擦力，事实上，正是摩擦力与重力沿下滑方向的分离组成力偶使圆柱体转动且摩擦阻力阻止了柱体与斜面的相对滑动，才使圆柱体沿斜面滚动而不滑动；如果斜面不能提供足够的摩擦力，则圆柱体会连滚带滑的向下运动；如果斜面绝对光滑，即斜面对圆柱体不提供摩擦力，则圆柱体在重力作用下沿斜面只滑动不滚动。
??，当柱体一定时，相对质 答 圆柱体沿斜面无滑动滚动，如课本195页例[2]示，??c?a?x??越小，故与转动惯量有关。当圆柱体沿斜面既滚动又滑动地向下运心的转动惯量越大则?动时，如课本图3.7.7有
??mgsin??f m?x这里f是滑动摩擦力，f??n??mgcos?，?是滑动摩擦系数，（注意，无滑动时，静摩擦力f并不一定达到极限值，f???n，??是静摩擦系数）、所以
??c?g?sin???cos?? x与转动惯量无关。又有转动定律得
???fa I?即
????mg?acos? I???S??得圆柱与斜面的相对滑动加速度 由??c?a?x???g?sin???cos???ma?gcos? SI与转动惯量有关
3.11 答 刚体作定点转动或定轴转动时，
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?Vi?O?Ri?iriO 题3-12图体内任一点的线速度才可写为ω?r，这时r是任一点到左边一点引出的矢径不等于该点到转轴的垂直距离对定点运动刚体圆点一般取在定点位置，对定轴转动刚体，坐标原点可取在定轴上任一点；包含原点且与转轴垂直的平面内的各点，r才等于到转轴的垂直距离。当刚体作平面平行运动或任意运动时，人一点相对与基点的速度也可写为ω?r?，其中r?为该点向基点引的矢径。
3.12 答 刚体绕定点转动时，ω?ω?t?的大小、方向时刻改变，任意时刻ω所在的方位即为瞬时转轴，
dω?r表示由于ω大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速dt度，故称转动加速度。ω??ω?r??ω?v是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向改变产生的加速度，它恒垂直指向瞬时转轴，此方向轨迹的曲率中心或定点，故称向轴加速度而不称向心加速度。
3.13 答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时，既考虑了刚体绕定点O转动的定量矩J随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变ω?J，又考虑了J相对固连于刚体的坐标轴的运动引起动量矩的改变Jxi?Jyj?Jzk也就是说，既考虑了随刚体运动的牵连运动，又考虑了相对于刚体的相对运动，是以固定参考系观测矢量对时间微商的，故用这种坐标系并不影响对刚体运动的研究。
3.14 答 欧勒动力学方程的第二项是由于动量矩矢量J随刚体以角速度ω转动产生的
iω?J??xI1?x
j?yI2?y?z????I2?I3??y?z?i???I1?I3??z?x?j???I2?I1??x?y?k I3?zk它们具有定性力矩的物理意义，各项的负值表示了惯性力系对定点的主矩在各动轴上的分量
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第四章思考题解答
4.1.答：矢量G的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。从静止参考系观察变矢量G随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G本身又相对于动系运动，所以矢量G的绝
??dGdGdG是相对于转动参考系的变化率即相对变化率应当写作G??ω?G。其中dtdtdt对变化率；ω?G是G随动系转动引起G的变化率即牵连变化率。若G相对于参考系不变
dG化，则有dG?0，此时牵连运动就是绝对运动，?ω?G；若ω?0即动系作动平
?dtdt动或瞬时平动，则有ω?G?0此时相对运动即为绝对运动 dG?dG；另外，当某瞬时
?dtdtω//G，则ω?G?0，此时瞬时转轴与G平行，此时动系的转动不引起G的改变。当动
系作平动或瞬时平动且G相对动系瞬时静止时，则有
dG?0；若G随动系转动引起的变dt?dGd化ω?G与相对动系运动的变化G等值反向时，也有?0。 dtdt4.2.答：式（4.1.2）
didj??j ???i是平面转动参考系的单位矢对时间的微商，表示由dtdtdk又ω恒?0；
dt于动系转动引起i,j方向的变化率。由于动坐标系中的z轴静止不动。故有沿z轴方位不变，故不用矢积形式完全可以表示式（4.2.3）
di和dj。
dtdtdidjdk?ω?i，?ω?j?ω?k是空间转动坐标系的单位矢对时间的微商，dtdtdt表示由于动系转动引起i,j,k方向的变化率，因动系各轴都转动
dk?0；又ω在空间的方dtdidjdk。
（4.1.2）是,,dtdtdt位随时间改变际不同时刻有不同的瞬时转轴，故必须用矢积表示
（4.2.3）的特例，当ω//k代入（4.2.3）式。不能由式（4.1.2）推出（4.2.3）。
didjdk（4.1.2）?ω?j??j，?ω?j，?0即为
dtdtdt4.3.答：人随卫星式飞船绕地球转动过程中受到惯性离心力作用，此力与地心引力方向相反，使人处于失重状态，故感到身轻如燕。
4.4.答：惯性离心力是随转动坐标系一起转动的物体受到惯性离心力，它作用于随动系一起
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转动的物体上，它不是物体间的相互作用产生的，也不是产生反作用力，是物体的惯性在非惯性系的反映；离心力是牛顿力，是作用于给曲线运动提供向心力的周围物体上的力，或者说离心力是作用于转动坐标系上的力，它是向心力的反作用力。 4.5.答：如题4.5所示，
ωr?mF惯
题4-5图由于物体m相对于圆盘的速度矢量v?//ω，故科里奥利力?2mω?v??0；又
??0，故牵连切向惯心力?mω??r?0；所以物体只受到牵连法向惯性力ω?恒矢量，ω即惯性离心力的作用，如图示F惯?mr?2，方向垂直于转轴向外。
4.6.答；单线铁路上，南来北往的列车都要通过，以北半球为例，火车受到的科氏惯性力总是指向运动方向的右侧（南半球相反），从北向南来的列车使西侧铁轨稍有磨损，故两条铁轨的磨损程度并不相同。
4.7.答：抛体的落地偏差是由于科里奥利力?2ω?v?m引起的，当炮弹自赤道水平方向朝北或朝正南射出时，出刻ω//v?，科里奥利力为零，但炮弹运行受重力作用改变方向使得ω与
v?不平行?2mω?v??0，朝北和朝南射出的炮弹都有向东的落地偏差。若以仰角40?或
垂直向上射出，炮弹上升和降落过程中科氏惯性力方向相反，大小相等，且上升时间等于下降时间，故落地无偏差。
4.8.答：单摆震动面的旋转是摆锤 受到科里奥利力?2mω?v?的缘故，其中m是摆锤的质量，ω是地球绕地轴的自转角速度，v?是摆锤的速度。南半球上摆锤受到的科氏力总是指向起摆动方向的左侧，如题4.8图是南半球上单摆的示意图，若没有科氏惯性力，单摆将沿事实上由于科里奥利力的作用单摆从A向B摆动逐渐向左侧移动到达C点，从CAB摆动，
点向回摆动过程中逐渐 左偏到达D点，以此推论，摆动平面将沿逆时针方向偏转。科里奥利力很小，每一次摆动，平面的偏转甚微，必须积累很多次摆动，才显出可觉察的偏转。
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理论力学思考题解答讲解
