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解 因为随机变量X服从参数为?的指数分布, 其分布函数为
?1?e??x,x?0, F(x)??0, x≤0.?由题意可知
14?P{k?X?2k}?F(2k)?F(k)?(1?e?2k?)?(1?e??k)?e??k?e?2?k.
k?ln2.
于是
?3. 设随机变量X有概率密度
?4x3,0?x?1, f(x)??其它,?0,要使P{X≥a}?P{X?a}(其中a>0)成立, 应当怎样选择数a?
解 由条件变形,得到1?P{X?a}?P{X?a},可知P{X?a}?0.5, 于是
?a04x3dx?0.5, 因此a?142.
4. 设连续型随机变量X的分布函数为
?0,?F(x)??x2,?1,?求: (1) X的概率密度; (2)P{0.3?X?0.7}.
x?0,0≤x≤1, x?1,解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系F?(x)可得
(2)
?f(x),
?2x,0?x?1, f(x)??其它.?0,P{0.3?X?0.7}?F(0.7)?F(0.3)?0.72?0.32?0.4.
5. 设随机变量X的概率密度为
f(x)＝
0≤x≤1,?2x, ?0, 其它,?求P{X≤
12}与P{
14
＜X≤2}.
11解
12P{X≤}??22xdx?x2?;
02401.
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152. P{?X≤2}??12xdx?x1?164441116. 设连续型随机变量X具有概率密度函数
0?x≤1,?x,?f(x)??A?x,1?x≤2,
?0,其它.?求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).
解 (1) 由概率密度的性质可得
121??xdx??(A?x)dx?011212x2?[Ax?012x]12?A?1,
于是
(2) 由公式F(x)当x≤0时,
A?2；
??x??f(x)dx可得
F(x)?0;
F(x)??xdx?010当0?x≤1时, 当1?x12x1x2;
x22?1;
x≤2时, F(x)??xdx??(2?x)dx?2x?F(x)?1.
当x>2时,
所以
?0,?1?x2,?2F(x)??2x?2x??1,?2?1,?x≤0,0?x≤1,
1?x≤2,x?2.7. 设随机变量X的概率密度为
?1?(x?1),0?x?2,
f(x)??4?0,其它,?对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.
解 根据概率密度与分布函数的关系式
P{a?X≤b}?F(b)?F(a)??f(x)dx,
ab可得 .
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P{X?1}??2114(x?1)dx?58.
所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为
535175. C32()2()?C33()3?88825628. 设X~U(0,5), 求关于x的方程4x?4Xx?2?0有实根的概率.
解 随机变量X的概率密度为
?1?,0≤x?5,f(x)??5
?其它,?0,若方程有实根, 则
16X2?32≥0, 于是X2≥2. 故方程有实根的概率为 22P{X≥2}=1?P{X?2}
?1?P{?2?X?2}
?1???1?9. 设随机变量X2015dx
25.
~N(3,22).
(1) 计算P{2?X≤5}, P{?4?X≤10}, P{|X|?2}, P{X?3}； (2) 确定c使得P{X?c}?P{X≤c}; (3) 设d满足P{X?d}≥0.9, 问d至多为多少？
解 (1) 由P{a P{2 a?32?X?32≤b?3b?3a?3}?Φ()?Φ()公式, 得222P{|X|?2}=P{X?2}+P{X??2} 23?3P{X?3}=1P{X≤3}?1?Φ()?1?Φ(0)=0.5 . 2(2) 若P{X?c}?P{X≤c},得1?P{X≤c}?P{x≤c},所以 P{X≤c}?0.5 . =1?Φ(2?32)+Φ(?2?3)=0.6977, 精品文档 由Φ(0)=0推得 (3) c?3?0,于是c=3. 2d?32d?3Φ(?)≥0.9?Φ(1.282), 2)≥0.9, 也就是 P{X?d}≥0.9 即1?Φ(?(d?3)≥1.282, 2解得 d≤3?2?(?1.282)?0.436. 210. 设随机变量X~N(2,?), 若P{0?X?4}?0.3, 求P{X?0}. X???解 因为X~N?2???,所以Z?~N(0,1). 由条件P{0?X?4}?0.3可知 ?因分布函数是一个不减函数, 故 0.3?P{0?X?4}?P{于是2?(0?2??X?2??4?2?22}??()??(?), ??2?2)?1?0.3, 从而?()?0.65. 所以 P{X?0}?P{?X?2??0?222}??(?)?1??()?0.35. ???习题2-5 1. 选择题 (1) 设X的分布函数为F(x), 则Y(A) (C) ?3X?1的分布函数G?y?为( ). F(y?). (B) F(3y?1). 11F(y)?. 3313133F(y)?1. (D) 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). ~N?0?1?,令Y??X?2, 则Y~( ). (A)N(?2,?1). (B)N(0,1). (C)N(?2,1). (D)N(2,1). (2) 设X解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C). 2. 设X~N(1,2),Z?2X?3, 求Z所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量 X~N(?,?2), 则X的线性函数Y?aX?b也服从正态分布, 即 2, 所以Z~N(5,8). Y?aX?b~N(a??b,(a?)2). 这里??1,??概率密度为 . 精品文档 f(z)?14?e?(x?5)162,???x???. 3. 已知随机变量X的分布律为 X P -1 0.37 0 0.05 1 0.2 3 0.13 7 0.25 (1) 求Y＝2－X的分布律； (2) 求Y＝3＋X2分布律. 解 (1) 2－X P (2) 3＋X2 P 3 0.05 4 0.57 12 0.13 52 0.25 -5 0.25 -1 0.13 1 0.2 2 0.05 3 0.37 4. 已知随机变量X的概率密度为 ?1， 1?x?4，? fX(x)＝?2xln2 ?其它，?0， 且Y＝2－X, 试求Y的概率密度. 解 先求Y的分布函数FY(y): FY(y)=P{Y≤y}?P{2?X≤y}?P{X ?1?P{X于是可得Y的概率密度为 ≥2?y} ?2?y}=1- ?2?y??fX(x)dx. 1?,1?2?y?4,?? fY(y)??fX(2?y)(2?y)=?2(2?y)ln2?0,其它.?1?,?2?y?1,?即 fY(y)??2(2?y)ln2 ?0,其它. ?5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量Y解 由题意可知随机变量X的概率密度为 ?X2的概率密度. ?1?,?2?x?2,fX(x)??4 ??0,其它.因为对于0
概率论与数理统计习题及答案第二章
