概率论与数理统计习题及答案第二章

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习题2-2

1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0

?1,A发生, X???0,A不发生.写出随机变量X的分布律.

解 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p. 或者

X 0 1 P 1-p p

2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为

1357. 试确定常数c, 并计算条件概率P{X?1|X?0}. ,,,2c4c8c16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

1357????1, 2c4c8c16c所以c?37. 16所求概率为 P{X<1| X

1P{X??1}82c. ???0}=

157P{X?0}25??2c8c16c3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若P{X≥1}?59, 求P{Y≥1}.

k解 注意p{x=k}=Cn故qpkqn?k,由题设?P{X≥1}?1?P{X?0}?1?q2,

95?1?p?23. 从而

219. P{Y≥1}?1?P{Y?0}?1?()3?3274. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为

1927, 求每次试验成功的概率.

解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是

19，那么一次都27.

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没有成功的概率是

8813. 即(1?p)?, 故 p=. 272735. 若X服从参数为?的泊松分布, 且P{X?1}?P{X?3}, 求参数?.

解 由泊松分布的分布律可知??6.

6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律.

解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有C53?10种取法.

2C21{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}=3=;

C510C323{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=3?;

C5102C43{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=3?.

C55X的分布律是

X P 3 4 5 313 51010习题2-3 1. 设X的分布律为 X P -1 0 1 0.15 0.20 0.65 求分布函数F(x), 并计算概率P{X<0}, P{X<2}, P{-2≤X<1}. ?0,?0.15,?解 (1) F(x)=??0.35,??1,x??1,?1≤x?0,0≤x?1,x≥1.

(2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15;

(3) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1; (4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35. 2. 设随机变量X的分布函数为

F(x) = A+Barctanx -∞

试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知

.

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??A?B(?)?0?11?2?A?,B?. ??2??A?B()?1??211于是 F(x)??arctanx,???x???.

2?(2) P{?1?X≤1}?F(1)?F(?1)

1111 ?(?arctan1)?(?arctan(?1))

2?2?11?11?1 ?????(?)?.

2?42?423. 设随机变量X的分布函数为

?0, 　x?0,??xF(x)=?, 　　0≤x?1,

2???1,　　x≥1,求P{X≤-1}, P{0.3

解 P{X≤?1}?F(?1)?0,

P{0.3

P{0

5. 假设随机变量X的绝对值不大于1;

11P{X??1}?,P{X?1}?; 在事件

84{?1?X?1}出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成

正比. (1) 求X的分布函数F(x)?P{X≤x}; (2) 求X取负值的概率p.

解 (1) 由条件可知, 当x??1时, F(x)?0; 当x??1时,

F(?1)?18;

当x?1时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1. 所以

115P{?1?X?1}?F(1)?F(?1)?P{X?1}?1???.

848易见, 在X的值属于(?1,1)的条件下, 事件{?1?X?x}的条件概率为

P{?1?X≤x|?1?X?1}?k[x?(?1)],

.

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取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=因此

1. 2x?1. 2P{?1?X≤x|?1?X?1}?X≤x,?1?X?1}

?P{?1?X?1}P{?1?X≤x|?1?X?1} 5x?15x?5 ???.

8216对于x≥1, 有F(x)?1. 从而

于是, 对于?1?x?1, 有 P{?1?X≤x}?P{?1??0,??5x?7F(x)??,16???1,(2) X取负值的概率

x??1,?1?x?1, x≥1.p?P{X?0}?F(0)?P{X?0}?F(0)?[F(0)?F(0?)]?F(0?)?习题2-4

1. 选择题 (1) 设度函数. (A)

716.

?2x, x?[0,c], 如果c=( ), 则f(x)是某一随机变量的概率密f(x)???0, x?[0,c]..

113. (B) . (C) 1. (D) 322解 由概率密度函数的性质应选(C ).

(2) 设X?????f(x)dx?1可得?2xdx?1, 于是c?1, 故本题

0c~N(0,1),又常数c满足P{X≥c}?P{X?c}, 则c等于( ).

(A) 1. (B) 0. (C) 解 因为P{X≥c}?12. (D) -1.

P{X?c}, 所以1?P{X?c}?P{X?c},即

2P{X?c}?1, 从而P{X?c}?0.5,即?(c)?0.5, 得c=0. 因此本题应选(B).

(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).

.

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(A)

(C)

?1?cosx,x?[0,?],?,x?2, (B) f(x)??2 f(x)??0,其它.???0,其它.(x??)?1??e?x,x≥0,?e2?,x≥0, (D) f(x)?? f(x)??2??0,x?0.??x?0.?0,22解 由概率密度函数的性质

(4) 设随机变量X?????f(x)dx?1可知本题应选(D).

?P{X≤??4}, ~N(?,42), Y~N(?,52), P1P?P2. (B) 对任意的实数?,P?P2. 11P2?P?Y≥??5}, 则( ).

(A) 对任意的实数?,(C) 只对实数?的个别值, 有P1?P2. (D) 对任意的实数?,P?P2. 1解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数?, 有

P??(?1)?1??(1)?P2. 1因此本题应选(A).

(5) 设随机变量X的概率密度为任意实数a, 有( ).

(A)

02(C) F(?a)?F(a). (D) F??a??2F(a)?1.

f?x?, 且f(x)?f(?x), 又F(x)为分布函数, 则对

F(?a)?1?f(x)dx. (B) F(?a)?∫0a1?∫f(x)dx.

2N(?2,?2),且

a解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量

X服从正态分布

N(?1,?12),Y服从正态分布

P{X??1?1}?P{Y??2?1}, 则下式中成立的是( ).

(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.

解 答案是(A).

(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数?(0???1), 数u?满足

P{X?u?}??, 若P{X?x}??, 则x等于( ).

(A)

u? . (B) u21??2 . (C)

u1-?. (D) u1??.

2解 答案是(C).

2. 设连续型随机变量X服从参数为?的指数分布, 要使P{k应当怎样选择数k? .

?X?2k}?1成立, 4