高中数学 3.3.2函数的极值与导数教案 新人教A版选修1-1
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景
观察图3.3-8，我们发现，t?a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t?a附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h?(a)；在t?a，当t?a时，函数h(t)单调递增，h?(t)?0；当t?a时，函数h(t)单调递减，h?(t)?0；这就说明，在t?a附近，函数值先增（t?a，h?(t)?0）后减（t?a，h?(t)?0）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h?(t)先正后负，且h?(t)连续变化，于是有h?(a)?0． 3.3-8 3.3-9 对于一般的函数y?f?x?，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授 一、导入新课
观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点 y y=f(x)
P(x1,f(x1))
Q(x2,f(x2))
o a x1 x
x3 b x
函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），
在P点附近，P点的位置最高，函数值最大 二、学生活动
学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构
y 极值点的定义:
观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y?f(x)在x?x0及其附近有定义，如果f(x0)2 0 x 的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说f (x0)是函数
y?f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数
值都小，我们说f (x0)是函数y?f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 请注意以下几点：(让同学讨论)
（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是
最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)。
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大o a x x1 x2 x4 b x3 值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。极值点与导数的关系:
复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f?(x)?0。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可?
探索:x=0是否是函数f(x)=x的极值点?（展示此函数的图形）
在x?0处，曲线的切线是水平的,即f?(x)=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果x0使f?(x0)?0，那么x0在什么情况下是的极值点呢？
3y f(x4) f(x1)
观察下左图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0，x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f?(x)?0，同理，如下右图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f?(x)?0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0，
y
f?(x0) f?(x)?0 f?(x0) y f?(x)?0 f?(x)?0 f?(x)?0 b 0 x x o 从而我们得出结论b ,同时巩固导数与函数单调性之间(给出寻找和判断可导函数的极值的方法o a x0 a x的关系）：
若x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。
结论：x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0)=0
反过来是否成立?各是什么条件? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0. 学生活动
函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
y D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 四、数学应用
例1．（课本例4）求f?x??解： 因为f?x??'213x?4x?4的极值 313x?4x?4，所以 3f?x??x?4?(x?2)(x?2)。 f'?x??0,x?2,x??2
下面分两种情况讨论： （1）当f（2）当f'o x ?x?>0,即x?2，或x??2时； ?x?<0,即?2?x?2时.
'
当x变化时， f'?x?，f?x?的变化情况如下表：
-2 0 极大值
(-2,2) －
2 0 极小值?x
y?
???,2?
+ ↗
?2,???
+
y
28 3↘
4 3↗
因此，当x??2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(?2)?当x?2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)??函数f?x?? 28； 34。 313x?4x?4的图像如图所示。 3y1f(x)=x3-4x+43 2O x-2
课堂训练:求下列函数的极值 1 （ 2）y?8x3－12x2?6x?1 x
让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：
一般地，如果函数y?f(x)在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：
① 确定函数的定义域； ② 求导数f?(x)； ③ 求方程f?(x)=0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查f?(x)在方程f?(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号 例题2（案例分析） 函数
（1）y??xf(x)?x3?ax2?bx?a2 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ）
a?3,b??3或 a??4,b?11A、 a?? 4,b?1或 a??4,b?11B、
C、 D、 以上都不对
a??4,b?11
?a?3?a??4?1?a?b?a2?10?f(1)?10或??略解:由题设条件得： ? / ? 解之得 ?b??3?b?11??f(1)?0?3?2a?b?0
通过验证，都合要求，故应选择A
上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 练习: 庖丁解牛篇(感受高考）
1、（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 a2、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值. 答案 （Ⅰ）x0=1; （Ⅱ）a?2,b??9,c?12
例3求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表
yy?f?(x)bO 32得极大值5，如图所示.求：
x其导函数y?f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，x
y?
???,?1? － ↘
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1
?1,??? + ↗
0 无极值
－ ↘
0 极小值0
+ ↗
0 无极值
y
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
yf?x? = ?x2-1?3+1-1
O1x
高中数学 3.3.2函数的极值与导数教案 新人教A版选修1-1
