[练案31]第五讲 数系的扩充与复数的引入
A组基础巩固
一、单选题
1．(2020·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(i＋2)对应的点的坐标为＝( B )
A．(1,2) C．(2,1)
2
B．(－1,2) D．(2，－1)
[解析] i(i＋2)＝i＋2i＝－1＋2i对应点(－1,2)，故选B.
－
2．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则z＝( D ) A．1＋2i C．1－2i
B．－1＋2i D．－1－2i
－2
[解析] 依题意得z＝i＋2i＝－1＋2i，z＝－1－2i，故选D. 3．(2020·沈阳市教学质量监测)若i是虚数单位，则复数( B )
5
A．－
45
C.i 4
2＋3i
[解析] 因为＝
1＋i5
之积为.故选B.
4
1＋i
4．(2020·贵州37校联考)复数z＝的共轭复数是( D )
1－iA．1＋i C．i
B．1－i D．－i
2＋3i1＋i
5B． 45D．－i
4
1－i5151
＝＋i，所以实部为，虚部为，实部与虚部
1－i2222
2＋3i
的实部与虚部之积为1＋i
－
1＋i
[解析] 因为z＝＝i，故z的共轭复数z＝－i，故选D.
1－i
5．(2020·湖南株洲质检)已知复数z满足(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于( B ) A．1－i 11
C.－i 22
B．1＋i 11D．＋i 22
1＋i
＝1＋i，故选B. 2
22
[解析] 由(1－i)z＝|2i|，可得z＝＝
1－i
6．(2020·五省优创名校联考)若复数z1，z2满足z1＝|z2|＝( A )
5A． 27C． 2
[解析] 因为z1＝
12－i
－
1
B．3 D．4
12－i
－
，z1(z2－2)＝1，则2＋i
1
2i14－3i5＝，z2＝＋2＝，所以|z2|＝.
z1222＋i3
2
7．(2020·陕西部分学校摸底检测)已知复数z满足z(1－i)＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|为( B )
1
A． 2C．2
2
B．
2 2
D．1
1＋i1－i
2
[解析] 解法一：因为复数z满足z(1－i)＝1＋i，所以z＝所以|z|＝
2
，故选B. 2
2
1＋i11＝＝－＋i，－2i22
解法二：因为复数z满足z(1－i)＝1＋i所以|z|＝|
1＋i
1－i
2
|＝
|1＋i|2
，故选B. 2＝
|1－i|2
8．(2020·江西临川一中模拟)设复数z1＝i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝z1·z2
在复平面内对应的点到原点的距离是( B )
A．1 C．2
B．2 D．
2
2
[解析] 因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z在复平面内对应的点为(－1,1)，该点到原点的距离是|z|＝2，故选B.
二、多选题
2
9．如果复数z＝，则下面正确的是( AD )
－1＋iA．z的共轭复数为－1＋i B．z的虚部为－1 C．|z|＝2 D．z的实部为－1 2
[解析] 因为z＝＝
－1＋i
2－1－i－2－2i
＝＝－1－i，所以z的实部为
－1＋i－1－i2
－1，共轭复数为－1＋i，故选A、D.
10．已知复数z满足i( BD )
A．第一象限 C．第三象限 [解析] ∵i
2k＋1
2k＋1
·z＝2＋i，(k∈Z)则复数z在复平面内对应的点可能位于
B．第二象限 D．第四象限
2＋i
·z＝2＋i，∴z＝2k＋1
i
2k＋1
当k为奇数时，i＝－i，
∴z＝－1＋2i，位于第二象限 当k为偶数时，i
2k＋1
＝i
∴z＝1－2i，位于第四象限 故选B、D. 三、填空题 11.
1－i1＋i
2
＋
1＋i1－i
2
＝__－1__.
1－i1＋i－2i22
[解析] (1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i，∴原式＝＋＝＝－1.
2i－2i2i
12．(2019·江苏)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__2__.
[解析] (a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，∵实部是0，∴a－2＝0，a＝2. 5－i
13．(2019·天津)i是虚数单位，则||的值为 1＋i[解析] 方法一：2＋－3
2
2
13 . 5－i
＝1＋i5－i1＋i1－i1－i
＝
4－6i5－i
＝2－3i，于是||＝|2－3i|＝21＋i
＝13.
2
2
5－i|5－i|5＋－1
方法二：||＝＝22
1＋i|1＋i|1＋114．已知a∈R，i为虚数单位，若[解析] 解法一：因为i为实数，所以
＝
262
＝13.
a＋2i
3－i
为实数，则实数a的值为__－6__. 3＋i3a－2a＋6
＝
3＋i10
i3a－2a＋6
＝＋
1010
a＋2i
3－i
＝
a＋2i
3－i
a＋6
10
＝0，解得a＝－6.
＝t(t∈R)，则a＋2i＝t(3－i)＝3t－ti，
解法二：令
a＋2i
3－i
??a＝3t所以?
?2＝－t?
，解得a＝－6.
B组能力提升
1＋i1．(2020·河南商丘九校联考)若复数z＝(a∈R，i为虚数单位．)为纯虚数，则|z|
a－i的值为( A )
A．1 C．3
B．2 D．2
1＋i
[解析] 由题意可设z＝＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝
a－ii，则|z|＝1，故选A.
22
2．(2020·广东七校联考)设z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数＋z在复平面内对应的点
z位于( A )
A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
21－i1＋i1－i
＋1＋2i＋i＝
2
2222
[解析] 因为z＝1＋i，所以＋z＝＋(1＋i)＝
z1＋i21－i
2选A.
＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故
1－bi
3．(2020·福建福州五校联考)若复数(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则
2＋i
b的值为( B )
A．－6 C．3
[解析] 解法一：由题意可设
?1＝a，????－b＝3aB．－3 D．6
1－bi
＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得2＋i
∴b＝－3.
1－bi2＋i
2－i2－b－1＋2bi
＝，
2－i5
1－bi
解法二：＝
2＋i
∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.
12
4．(2020·安徽合肥教学质量检测)已知i是虚数单位，若复数z满足z＝－4，则＝z( D )
1A．－
21C．±
2
1B．－i
21D．±i
2
2
2
2
[解析] 设z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，则(x＋yi)＝－4，即x－y＋2xyi＝－4，所以
??x－y＝－4，?
?2xy＝0，?
2
2
??x＝0，
解得?
?y＝±2，?
111
所以z＝±2i，＝＝±i，故选D.
z±2i2
5．(2020·西藏拉萨十校联考)已知复数z满足：|z|＝|3－2z|，且z的实部为2，则|z－1|＝( B )
A．3 C．32
B．2 D．23
2
2
[解析] 设z＝2＋bi(b∈R)，根据题意得到4＋b＝1＋4b?b＝±1，∴z＝2±i.则|z－1|＝2，故选B.
2021版高考数学一轮复习练案第五讲数系的扩充与复数的引入(含解析)
