人教版高中数学选修1-1课时作业
3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性和导数 3.3.2函数的极值与导数 3.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、选择题
1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a A．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) 2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，f1则f′0 的最小值为( ) 53 A．3 B. C．2 D. 22 4.已知函数f(x)的定义域为[－2,4]，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)a≥0?? 的图象如下图所示．则平面区域?b≥0所围成的面积是( ) ??f2a＋b<1 A．2 B．4 C．5 D．8 5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0 1 人教版高中数学选修1-1课时作业 11log3?f?log3?，成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝?b，c的大小关系是( ) ?9??9?则a， A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 二、填空题 6．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________． 1 7．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________． 28．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为________． 三、解答题 1 9．已知函数f(x)＝x2＋ln x－1. 2 (1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值； 2 (2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方． 3 10．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值； (2)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围． 2 人教版高中数学选修1-1课时作业 ——★ 参 考 答 案 ★—— 1．C 2.D 3．[[解析]]f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0对于任意实数x都有f(x)≥0得a>0，b2－4ac≤0，∴b2≤4ac， f1 ∴c>0， f′0[[答案]]C 4．B 5.C 2 6．[[解析]]首先考虑定义域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－ x＝2 x2－1 ≤0及x>0知0 a＋b＋ca＋c2ac＝＝＋1≥＋1≥1＋1＝2，当取a＝c时取等号． bbb [[答案]](0,1] b 7．[[解析]]由题意可知f′(x)＝－x＋<0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，即b x＋2x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于x≠－1，所以b≤－1. [[答案]](－∞，－1] 8．[[解析]]设经时间t秒梯子上端下滑s米，则 s＝5－25－9t2， 1.47 当下端移开1.4 m时，t0＝＝， 315 111 又s′＝－(25－9t2)－·(－9·2t)＝9t， 22225－9t7所以s′(t0)＝9×· 15[[答案]]0.875(m/s) 1 9．[[解析]](1)∵f′(x)＝x＋， x 当x∈[1，e]时，f′(x)>0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数， 11 ∴f(x)max＝f(e)＝e2，f(x)min＝f(1)＝－. 2212 (2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－1－x3 23x2＋1－2x312 则F′(x)＝x＋－2x＝ xx＝ 1 ?7?2 25－9×?15? ＝0.875(m/s)． 1－x 1＋x＋2x2 . x 3 人教版高中数学选修1-1课时作业 12 ∵当x>1时F′(x)<0，∴函数F(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，∴F(x) 23即在(1，＋∞)上，f(x) 2 ∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方． 31 (3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋， x 当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时， 11x＋?n－?xn＋n? ∵[f′(x)]n－f′(xn)＝?x??x?? n2n3 ＝C1＋C2＋…＋Cnnxnxn － － －1 1xn －2 ，① [f′(x)]n－f′(xn)＝Cnn －1 1x n－2 ＋Cnn －2 1n－2，② －3＋…＋Cnxn x 1 11－ ①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝??xn2＋xn－2?C1 2???n＋ ?xn－3＋1?2?n－2＋1?n－1? －3Cn＋…＋x－2Cnnn x?x???? － 1＋C2＋…＋Cn1＝2n－2(当且仅当x＝1时“＝”成立)． ≥Cnnn ∴当n≥2时，不等式成立． 综上所述得[f′(x)]n－f′(xn)≥2n－2(n∈N＋)． 10．[[解析]](1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， ∴f′(x)＝3x2－2ax－4. 1 由f′(－1)＝0得a＝， 2 1 x－?，f′(x)＝3x2－x－4. 此时有f(x)＝(x2－4)??2?4 由f′(x)＝0得x＝或x＝－1， 3 当x在[－2,2]变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表： x f′(x) f(x) (－2，－1) ＋ 递增 －1 0 9极大值 2?－1，4? 3??－ 递减 4 30 极小值 50－ 27?4，2? ?3?＋ 递增 4?509∵f(x)极小＝f?＝－，f(x)极大＝f(－1)＝， ?3?272又f(－2)＝0，f(2)＝0， 4 人教版高中数学选修1-1课时作业 950 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－. 227 (2)法一：f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0， ??4a＋8≥0 即?，∴－2≤a≤2. ?8－4a≥0? 所以a的取值范围为[－2,2]． 法二：令f′(x)＝0即3x2－2ax－4＝0，由求根公式得： a±a2＋12x1,2＝(x1 3 所以f′(x)＝3x2－2ax－4在(－∞，x1]和[x2，＋∞)上非负． 由题意可知，当x≤－2或x≥2时，f′(x)≥0， 从而x1≥－2，x2≤2， ?a2＋12≤a＋6即?，解不等式组得：－2≤a≤2. 2 ?a＋12≤6－a. 即a的取值范围是[－2,2]． 5
高中数学选修1-1课时作业8：3.3.1 函数的单调性和导数--3.3.3 函数的最大(小)值与导数
