三角函数
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方
向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示： （1）?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)??????2k?(k?Z)，注意：相等
的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角?1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：?25；?（2）?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ??（3）?终边与?终边关于x轴对称??o5?36）
???k?(k?Z).
????2k?(k?Z).
（4）?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). （5）?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).
（6）?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：
?k????k??,k?Z；?终边在坐标轴上的角可表示为：??,k?Z.如?的终边与的终边关
226于直线y?x对称，则?＝____________。
（答：2k?4、?与象限角
（答：一、三）
5.弧长公式：l2o?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3. 如已知
??3,k?Z）
是第_____
?2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若?是第二象限角，则
?222扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：2cm）
6、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是
2r?x2?y2?0，那么sin??yx,cos??rr，
tan??y,?x?0?x，
cot??xrr(y?0)，sec???x?0?，csc???y?0?。三角函数值只与角的大小有关，而yyx与终边上点P的位置无关。如
（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?的值为＿＿。
（答：?7）； 13（2）设?是第三、四象限角，sin??2m?3，则m的取值范围是_______
4?m（答：（－1，
3)）； 2（3）若
|sin?|cos???0，试判断cot(sin?)?tan(cos?)的符号
sin?|cos?|（答：负）
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7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如
（1）若?A)”.三角函数线的重要应用
y T B S P α O M A x ?8???0，则sin?,cos?,tan?的大小关系为_____
(答：tan??sin??cos?)；
； ???tan?）
（2）若?为锐角，则?,sin?,tan?的大小关系为_______
（答：sin?（3）函数
y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_______
（答：(2k???3,2k??15° 2?](k?Z)） 375° 8.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 sin? cos? 1 23 23 33 22221 326?246?246?246?242+ 1 23 1 0 －1 0 tan? cot? 0 0 2-3 3 3 3 1 3 32 0 0 2+2-9. 同角三角函数的基本关系式： ??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2?
（2）倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,
sin?cos?（3）商数关系：tan?? ,cot??cos?sin?（1）平方关系：sin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在
运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
（1）函数
y?sin??tan?cos??cot?的值的符号为____
（答：大于0）；
1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____ ?3（答：[0,]U[?,?]）；
44m?34?2m?(????)，则tan?＝____ （3）已知sin??，cos??m?5m?525（答：?）；
12tan?sin??3cos?2??1，则（4）已知＝___；sin??sin?cos??2＝____
tan??1sin??cos?513（答：?；）；
35（2）若0?2x?2?，则使
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（5）已知sin200 A、???a，则tan160?等于
B、
a1?a2a1?a2
1?a2C、?a D、
1?a2a
（答：B）；
（6）已知
f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______
（答：－1）。
k，符号???）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数）
2看象限（看原函数，同时可把?看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k?+?,0???2?；(2)转化为锐角三角函数。如
9?7?（1）cos?tan(?)?sin21?的值为________
4623?（答：）； 234??（2）已知sin(540??)??，则cos(??270)?______，若?为第二象限角，则
5[sin(180???)?cos(??360?)]2?________。 ?tan(180??)43
（答：?；?）
5100
10.三角函数诱导公式（
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令???cos??????cos?cos?msin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? ?cos2?＝1mtan?tan?21?cos2? ?sin2?＝22tan? tan2??1?tan2?1 如（1）下列各式中，值为的是
2?oo2? A、sin15cos15 B、cos?sin2
1212tan22.5o1?cos30o C、 D、 2o1?tan22.52 tan?????? （答：C）；
（2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的
（答：C）；
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 （3）已知sin(???)cos??cos(???)sin??3，那么cos2?的值为____ 5（答：
7）； 25第 3 页
（4）
13?的值是______
sin10osin80o（答：4）；
0(5)已知tan110?a，求tan500的值（用
a表示）甲求得的结果是a?3，乙求得的结果是
1?3a1?a22a，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
???????，，如 2??(???)?(???)，????2????????等）
22222?1?（1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____
5444????（答：
（2）已知0?的值
（答：
（3）已知?,?为锐角，sin?______
（答：
(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 （1）求值sin50o3）； 22???2????，且cos(???2)??1?2，sin(??)?，求cos(???)923490）； 729?x,cos??y，cos(???)??3，则y与x的函数关系为5y??3431?x2?x(?x?1)） 555(1?3tan10o)
（答：1）；
（2）已知
sin?cos?2?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值
1?cos2?3（答：
1） 8?tan??tan??????1mtan?tan??。如
（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____
(3)公式变形使用（tan?（答：?(2)设?ABC中，tanA?tanB?____三角形
（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos222）；
3?3tanAtanB，sinAcosA?3，则此三角形是4??1?cos2?2，sin2??1?cos2?2与升幂公式：
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1?cos2??2cos2?，1?cos2??2sin2?)。如
(1)若??(?,31111?)，化简??cos2?22222为_____
（答：sin?2）；
（2）函数
f(x)?5sinxcosx?53cos2x?53(x?R)的单调递增区间为____ 2?5?（答：[k??,k??](k?Z)）
1212(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 （1）tan?(cos??sin?) ?sin??tan?cot??csc?
（答：sin?）；
（2）求证：
1?sin?1?2sin2?1?tan?1?tan2??2；
（3）化简：
212cos4x?2cos2x?22tan(?x)sin(?x)441cos2x） 22222(6)常值变换主要指“1”的变换（1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx
322?tan??sin??L等），如已知tan??2，求sin??sin?cos??3cos?（答：）.
425(7)正余弦“三兄妹—sinx?cosx、，如 sinxcosx”的内存联系――“知一求二”（1）若 sinx?cosx?t，则sinxcosx? __
t2?1（答：?)，特别提醒：这里t?[?2,2]；
21（2）若??(0,?),sin??cos??，求tan?的值。 24?7（答：?）；
3sin2??2sin2????k(???)，试用k表示sin??cos?的值 （3）已知
1?tan?42（答：1?k）。
（答：
13、辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx由a, b的符号确定，?角的值由tan?（1）若方程sinx?（2）当函数
?2?
?a2?b2sin?x???(其中?角所在的象限
?ba确定)在求最值、化简时起着重要作用。如
3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________.
（答：[－2,2]）；
y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______
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三角函数——方法、题型、易误点及应试技巧总结11页word
