全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴1．计算??D1?x?y所围成三角形区域.
2．设f(x)是连续函数，且满足
f(x)?3x2??f(x)dx?2，则f(x)?____________.
02x23．曲面z??y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________.
24．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则
d2y
?________________. dx2
eex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??0f(xt)dt，且lim?A，A为常数，求g?(x)并
x?0x讨论g?(x)在x?0处的连续性.
四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）?xesinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；
LL（2）?xesinydy?ye?sinydx??2.
L52五、（10分）已知y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线y?ax2?bx?2lnc过原点.当0?x?1时，y?0，又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为.试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
?(x)?un(x)?xn?1ex七、（15分）已知un(x)满足unn?1,2,L13，且un(1)?e，求函数项级数n?un?1?n(x)之和.
?八、（10分）求x?1时，与?xn等价的无穷大量.
n?0?22010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分）
（1）设xn?(1?a)(1?a)L(1?a)，其中|a|?1,求limxn.
n??22n（2）求lime?x?1??.
x??x???1?x2（3）设s?0，求In??0e?sxxndx(n?1,2,L).
?2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2.
?x?y?r?22??x?y?0x?2y?1z?3（5）求直线l1:?与直线l2:的距离. ??4?2?1z?0?二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0，limf?(x)???0，
x???x???limf?(x)???0，且存在一点x0，使得f(x0)?0.证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实
根. 三、（15
?x?2t?t2d2y3(t??1)所确定，且2?分）设函数y?f(x)由参数方程?，
dx4(1?t)?y??(t)t22其中?(t)具有二阶导数，曲线y??(t)与y??1e?udu?3在t?1出相切，求函数?(t).
2e四、（15分）设an?0,Sn??ak，证明：
k?1n（1）当??1时，级数?an收敛； ?n?1Snan发散. ?Sn?1n????（2）当??1且sn??(n??)时，级数?五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中?2??2??2?1)的直线，均匀椭球
x2y2z2?2?2?1（其中0?c?b?a，密度为1）绕l旋转. 2abc（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值.
六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分??L2xydx??(x)dy?0的值为常数. 42x?y2xydx??(x)dy?0；
x4?y2（1）设L为正向闭曲线(x?2)2?y2?1，证明??L（2）求函数?(x)；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求??C2xydx??(x)dy. 42x?y2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
?（1）求lim?x?0sinx???x?11?cosx；
?（2）.求lim?n??111???...??； n?n??n?1n?22t??x?ln?1?e?（3）已知?t??y?t?arctaned2y，求2dx.
二、（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解.
三、（本题15分）设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f?0?,f??0?,f???0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limk1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0??0. h?0h2四、（本题17
x2y2z2分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的
abc交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、（本题16
?x2?3y2?1分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分
z?0?（z?0）（取上侧），?是S在P(x,y,z)点处的切平面，?(x,y,z)是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦.计算： （1）??SzdS；（2）??z??x?3?y??z?dS
??x,y,z?Sf?(x)?mf(x)，其中0?m?1，
六、（本题12分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数，且
?任取实数a0，定义an?lnf(an?1),n?1,2,...，证明：?(an?an?1)绝对收敛.
n?1七、（本题15分）是否存在区间?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f(0)?f(2)?1，
f?(x)?1，
?20f(x)dx?1?请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限lim(n!). n??（2）求通过直线l:?过点(4,?3,1).
（3）已知函数z?u(x,y)e?2z?z?z???z?0. ?x?y?x?yax?by1n2?2x?y?3z?2?0的两个互相垂直的平面?1和?2，使其中一个平面
?5x?5y?4z?3?0?2u?0.确定常数a和b，使函数z?z(x,y)满足方程，且?x?y（4）设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?L(x?2y)udx?(x?u3)udy在右半平面与路径无关，求u(x,y).
3（5）求极限xlimx?x???x?1sintdt. t?cost??二、（本题10分）计算?0e?2xsinxdx.
三、（本题10分）求方程x2sin?2x?501的近似解，精确到0.001.
四、（本题12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，f?(0)?0，求
x3f(u)lim，其中u是曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴上的截距. x?0f(x)sin3u1x五、（本题12分）求最小实数C，使得满足?0f(x)dx?1的连续函数f(x)都有
1?10f(x)dx?C.
六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t?0.区域?是由抛物面z?x2?y2和球面
x2?y2?z2?t2(z?0)所围起来的部分.定义三重积分F(t)????f(x2?y2?z2)dv，
?求F(t)的导数F??(t).
七、（本题14分）设?an与?bn为正项级数，证明：
n?1n?1?an1?（1）若lim???0，则级数?an收敛； n??abbn?1n?1nn?1??an1?（2）若lim???0，且级数?bn发散，则级数?an发散. n??abbn?1n?1n?1nn?1??2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限lim1?sin?1?4nn???2?.
n2.证明广义积分???0sinxdx不是绝对收敛的. x3.设函数y?y(x)由x3?3x2y?2y3?2确定，求y(x)的极值.
4.过曲线y?3x(x?0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为的坐标.
二、（满分12分）计算定积分I?????3，求点A4xsinx?arctanexdx.
1?cos2x?f?x??1?三、（满分12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f??(0)，且lim?0.证明：级数?f??收敛.
x?0x?n?n?12. ?am五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分四、（满分12分）设f(x)??,f?(x)?m?0(a?x?b)，证明
bsinf(x)dx?I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy.试确定曲面?，使积分I的值最小，并求该最小值.
?六、（满分14分）设Ia(r)??限limIa(r).
r???ydx?xdy，其中a为常数，曲线C为椭圆x2?xy?y2?r2，取正向.求极
C(x2?y2)a111??L?n的敛散性，若收敛，求其和. 七、（满分14分）判断级数?2n?1?n?1??n?2??2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）
1.已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.
2.设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0.则与L平行的S的切平面方程是. 3.设函数y?y(x)由方程x??4.设xn??ny?x1dy??t?sin2??dt所确定.求
dx?4??.
x?0k，则limxn?.
n??(k?1)!k?11f(x)f(x)?x?35.已知lim?1?x?，则lim?. ?e?x?0x?0x2x??二、（本题12分）设n为正整数，计算I???2n?e1d?1?cos?ln?dx. dx?x?三、（本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得f(x)?A，|f\x)|?B.证明：对任意x?[0,1]，有|f'(x)|?2A?B. 2四、（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R.证明该球缺体积为
?3(3R?h)h2，球冠面积
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
