第1讲等差数列与等比数列
专题强化超精练提能 a20
1. (2024 ?南京模拟)在等比数列｛an｝中，a2a6 = 16, a4+ a8= 8，则—=
a10
［解析］法一：设等比数列｛an｝的公比为q,由S2a6= 16得a?q6= 16,所以ag3=±4.由
a4 + a8= 8,得 ag3(1 + q4) = 8,即卩 1 + q4=± 2,所以 q2= 1 .于是 一 =q10= 1. a10
法二：由等比数列的性质，得 a4= a2a6= 16,所以a4=± 4,又a4 + a8= 8，所以
2
a4
= 4, a8= 4 或
\=一 ,因为 a6= a4a8>0，所以 a8= 12.
4
a4= 4,
a20 10
则公比 q满足q= 1, q2= 1,所以 _= q10= 1.
a10
a8= 4,
4
2
［答案］1
2. (2024 ?宿迁模拟)若等差数列
a2 + S3 = 4, a3 + S5 = 12，则 a4 + S的值是 ｛an｝满足
［解析］由S3= 3a2，得a2 = 1,由 S5 = 5a3,得 a3= 2,则 a4= 3, S7= 7a4, 则 a4 + S7 = 8a4
=24.
［答案］24
3. (2024 ?江苏名校高三入学摸底
n
2+ )已知数列｛an｝满足a1= 2, an+1=一 “ ',bn= — nan2n
；n+2,
(n� N)，则数列｛b｝的通项公式是
an + 1
［解析］由已知得尹=——厂
+
an
一(n� N),
+ 2n
2n1 2n 1 * 1 * 1 1 则 =—+ n +二(n� N),即 bn+1一 bn= n + ;(n� N),所以 b2一 b= 1 + ;, b3一 b2 = 2+；,…, an+1 an 2 2 2 2
,, 1 bn 一 bn — 1= (n - 1) + 2 ,
2
n— 1 (n— 1) n n— 1 n — 1 累加得 bn — bi = 1 + 2+ 3 +…+ (n— 1) + ~2~ = 2 + ~= 2~ ,
2 n2 — 1 n2+1 又 b1 = —= 1,所以 bn = + 1 =
a1 2 2
n2 +1 ［答案］bn=2~
4.已知等比数列｛an｝为递增数列.若
a1>0,且2(an+ an+ 2)= 5an+1,则数列｛an｝的公比q
-1 -
［解析］因为 2( an + an + 2)= 5an + 1 ,
2
所以 2an(1 + q ) = 5anq,
1
所以 2(1 + q) = 5q,解得 q= 2 或 q = -
2
因为数列为递增数列，且 a>0,所以q>1，所以q= 2. ［答案］2
5. (2024 ?苏锡常镇四市高三教学调研
(一))中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个
问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐 减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 的里程数为
700里?那么这匹马最后一天行走
1
［解析］由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列， 设为｛an｝，易知公比q=2 卄=231 1 — 则S7 =
占=罟8 = 700,所以 a1 = 700x 147,所以 a7 = ag6= 700X 蕩
127'
120.
x 16=需，所以这匹马最后一天行走的里程数为
S5 1
6. (2024 ?苏州市第一学期学业质量调研
)设S是等比数列｛an｝的前n项和，若=,则
S
S5 S°+ S10
S； 1
［解析］法一：设等比数列｛an｝的公比为q,若公比q为1，则-=;,与已知条件不符,
S10 2 5
S- 1 1 — q 1 a1 (1 — n
q) 所以公比qz 1,所以S= ,因为￡=3所以1—r=3,所以q5=2,所以S右
1 — q
5
3
S5
1
~ 20 - 10 ^― ~ T4 - _ 2 ^=4 _ . 1 — q + 1 — q 1 — 2 + 1 — 2 18
S 1
1 — q 1 — 2
S= a, S0 = 3a, a^ 0,易知 S5, S10— S5, S5—S10, S0 — $5
所以 ~ 成等比数列，由S5= a, So— S5 = 2a, 得 S15— Si0= 4a, S20 — $5= 8a,从而 S20= 15a,吳+ S10
S5
a
15a+ 3a 18
7.设数列｛an｝, ｛bn｝都是等差数列，且 a1 = 25, b1 = 75, a2+ b2= 100,那么 勿+ b组成的 数列的第37项的值为
-2 -
［解析］｛ an｝, ｛bn｝都是等差数列，则｛an+ bn｝为等差数列，首项为 a + bi = 100,
d = (a2+ b2)— (ai+ bi) = 100- 100 = 0,所以 仙+ bn｝为常数数列，第 37 项为 100.
［答案］100
8. (2024 ?南京市四校第一学期联考 )已知各项均为正数的等比列 27,
｛an｝中，a2= 3, a4=
S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列｛anan+1｝的前n项和，若&= kTn,则实数k的值为 ____________ .
［解析］因为各项均为正数的等比数列 ｛a｝中，a2= 3, a4= 27,所以a1= 1，公比q= 3, 所以S2n =
3 — 1 an= 3 n—1 令 bn= a?an+1 = 3 3 = 3勿1,所以b1= 3,数列 2 ,
「 3X( 1 — 9 ) 3 (3 — 1) 3 — 1 {bn}为等比数列，公比q'= 9,所以Tn = = .因为S2n= kTn,所以一-—
1 — 9 8 2
，解得
1X( 1 — 3)
2n
2n
9. (2024 ?泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列｛&｝及公比为2的等比数列｛4｝满 足a1+ b1>0, a2 + b2<0,贝y a3+ b3的取值范围是 __________
a1 + b >0
］
［解析法一：由题意可得& + 2b1< — 2,该不等式组在平面直角坐标系a1Ob中表示的平
面区域如图中阴影部分所示，则当
as + b3= a1 + 4+ 4b1经过点(2 , — 2)时取得最大值一2，则
a3 + b3<— 2.
3(ai + 2b” + 4< — 2,
a1 + b1 >0 法二：由题意可得彳，贝U a3+ b3= a1+ 4 + 4b1 = — 2(曰 + b” + a1 + 2b1<— 2
故a3+ b3的取值范围是(一g,— 2).
［答案］(—3— 2)
*
an+ 2— an+1
10. --------------------------------------------------- 在数列｛an｝中，n� N,若 =k(k为常数)，则称｛an｝为“等差比数列”，下
an+ 1 — an 列是对“等差比数列”的判断：
① k不可能为0 ；
② 等差数列一定是“等差比数列”； ③ 等比数列一定是“等差比数列”； ④ “等差比数列”中可以有无数项为 0.
-3 -
其中所有正确判断的序号是 _________ .
-4 -
［解析］由等差比数列的定义可知， k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为 差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当
0，即等
｛an｝是等比数列，且公比 q =
1时，｛an｝不是等差比数列，所以③错误；数列 0, 1, 0, 1,…是等差比数列，该数列中有无 数多个0，所以④正确.
［答案］①④
11. (2024 ?宝鸡模拟)已知数列｛an｝满足 a = 5, a2= 5, an+1= an + 6an-1 (n》2). (1)求证：｛an+1 + 2an｝是等比数列； (2)求数列｛an｝的通项公式.
［解］(1) 证明：因为 an+1= an+ 6an—1( n》2), 所以 an+ 1 + 2an= 3an + 63n- 1 = 3( an+ 2an—1)( n》2). 又 a1 = 5, a2= 5,所以 a2+ 2a1 = 15, 所以 an+ 2an—严 0( n》2),
所以 an+ 1 + 2an
a+a—;=3(n》2)
所以数列｛an+1+ 2an｝是以15为首项，3为公比的等比数列. (2)由(1)得 an+ 1+ 2a= 15X3 1 = 5X3 , 则 an+1=— 2an+ 5X3,
所以 an+1 — 3 1
=— 2( an— 3 ). 又因为a1 — 3= 2,所以a— 3nz0,
所以｛an — 3n｝是以2为首项，一2为公比的等比数列. 所以 an— 3n = 2X( — 2)n-
1,
即 an = 2X ( — 2)n—
1+ 3n(n� N).
1 —
12. (2024 ?苏州市高三模拟 )已知数列｛an｝满足：a1=, an+1 — an= p?3n—
1— nq, n� p, q� R.
(1) 若q= 0，且数列｛an｝为等比数列，求 p的值； (2) 若p= 1，且a4为数列｛an｝的最小项，求q的取值范围. ［解］(1)因为 q= 0, an+1— an= p ^3n_1, 1 1
所以 a2= a1 + p= 2 + p, a3 = a2 + 3p = ? + 4p.
1 2 1 1
由数列｛an｝为等比数列，得 2 + p =厂+
p= 0 或 p= 1.
,
-5 -
N*
江苏专用高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习文苏教版
