矩阵基本性质

.

矩阵的基本性质

矩阵的第?第列的元素为1.矩阵的加减法 （1）

,对应元素相加减

。我们?

或（）表?的单位矩阵。

（2）矩阵加减法满足的运算法则

a.交换律：

b.结合律：c.d.2.矩阵的数乘 （1）

，各元素均乘以常数

（2）矩阵数乘满足的运算法则

a.数对矩阵的分配律：b.矩阵对数的分配律：c.结合律：d.3.矩阵的乘法 （1）

，左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有b.分配律：c.结合律：d.数乘结合律：4.矩阵的转置

,

,

,…,

（1）矩阵的幂：

..

.

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.b.c.d.5.对称矩阵：（1）设（2）设

即

；反对称矩阵：

即

为（反）对称矩阵，则为对称矩阵，则

或

仍是（反）对称矩阵。 仍是对称矩阵的充要条件，

也是（反）对称矩阵。

分别是对称矩阵和反对称矩阵且

=

。

（3）设为（反）对称矩阵，则（4）对任意矩阵，则

.

（5）

即

；反Hermite矩阵，

即

6. Hermite矩阵：

a.b.c.d.e. f.

7.正交矩阵：若（1）（2）

（当矩阵可逆时）

,则

是正交矩阵

..

.

（3）,

,则

是酉矩阵

8.酉矩阵：若（1）（2）（3）（4）

9.正规矩阵：若10.矩阵的迹和行列式 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）

异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵（1）设

..

,

,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵

为矩阵的迹；或为行列式

；注：矩阵乘法不满足交换律

,为酉矩阵，则

,

，则

其中为

奇

的代数余子式

所构成的矩阵

由行列式

.

（2）

12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的） （1）A的逆矩阵记作（2）

,

;

（为非奇矩阵）时，

（3）且，则

（4）由（5）（6）若

，得

（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则（8）（9）（10）

（11）Woodbury恒等式 :（12）

也上（下）三角矩阵

12.对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则

或

;

13.矩阵的导数 （1）

，则

为对角矩阵

（2）

..

.

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

..