地球上任意两点最短路径初步探索

地球上两点最短走法的初步探索

（地球上两点间最近航线的方向判断问题的延伸）

作者：郑致远，杨文君，林璐瑶

山东省北镇中学2017级4班

在高中地理必修一第一章《行星地球》的学习中，我们有时会遇上这样一种题，

而地理老师，也常常给我们合理的解析，并总结一些简单的规律，有了这些规律，至少高考就不会发愁了。但是作为一名学地理的理科生，我并不能满足这种无意义的结论。

于是，本文的核心问题油然而生：

对于任意的已知经度和纬度的点A、点B。如何判断两点之间的最短航线的方向是否会发生由偏南到偏北或由偏北到偏南的转换。

下面对此问题展开论述。 先复习一下高中内容：

一． 对于同一纬线圈上的两点，我们知道它们最短航线的规律如下： 1. 赤道（0°）上正东正西走劣弧（圆心角小于180°） 2. 北半球航线向北偏（先向X北再向X南）； 3. 南半球航线向南偏（先向X南再向X北）。

（ps：①X为东或西 ②走经度差小于180°的一侧（废话） ） 二． 对于同一经线圈上的两点，我们知道它们最短航线的规律如下： 1. 最短航线过极点

2. 最短航线为经线圈上的一部分（两点间的劣弧） 3. 劣弧的寻找方法为：

记N为正，S为负，将两点纬度值（处理了正负之后的）相加， 为正则走北极点，为负则走南极点。（你愿意反着设正负我也没办法） （ps：①经线圈不解释，不懂自己查（我不信你们老师没讲过）） 三． 其他的一些东西

1. 对于地球上任意两点，我们知道它们最短航线应为过两点的大圆上两点之间的劣弧

（因为此类问题在教学中经常出现，广为人知，且不是我们讨论的焦点，故不展开解释，不懂请百度“地球上两点间最近航线的方向判断问题”） 但是仅仅知道这个还不够，什么时候这个劣弧会出现“先向东北再向东南”之类的大方向转向，而什么时候只有“向东北”之类的大方向直飞呢？这就是我们将重点讨论的问题。

正式研究

研究思路：

1. 对于任意两个点的分析可能太过困难，所以我们可以先从位于同一南北半球上的任意两个点入手，由于我们对于北半球相对习惯，所以从北半球上任意的两个点开始研究。

如图所示，我们找到了两个点A，点B。 由于在这一讨论中，我们忽略了地球的形状（赤道略鼓，两极稍扁），那么不同经度之间更为微小的差异也就理所当然的一并省略了，直接把地球看成一个完美球体。

那么，我们就可以轻松的知道，两点的具体经度对本问题是没有影响的，有影响的是两点之间的经度差。

所以我们可以直接把经线扔掉，得到一个简化的地球如下图。 并标明相关垂直便于理解。

B A B A 对于该问题，两个点的情况太多，所以想到可以考虑固定一个点，对任意的另一个点进行讨论。所以我们把B点固定下来，并思考A、B恰好不用转弯的情况。

容易想到，当B点恰好是AB大圆的最高点时恰好不用转弯，亦即当大圆AB与B所在的纬线圈在B点恰好相切时为是否出现大方向改变的分界情况。那么如果确定了B点位置，又已知大圆AB的圆心即球心O，那么就可以确定唯一的大圆OB，即A在分界情况下是有范围的。作得分界情况如图所示。

考虑极限情况，当纬度的影响远大于经度的影响时，即把经度看做相同时，显然，此时不需要出现大方向的转向.

而当经度的影响远大于纬度的影响时，即把纬度看做近似相同时。同理易知，此时需要出现大方向的转向。

B 因此可得，当B点确定时，圆OB所截球面的右下侧橙色区域的球面为不需要出现大方向转向的A的取点范围 如图