数值分析第四章
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因此I?10.2075922
9。用n?2,3的高斯-勒让德公式计算积分
?31exsinxdx.
3解：
I??exsinxdx.
1Qx?[1,3],令t?x?2，则t?[?1,1]
用n?2的高斯—勒让德公式计算积分
I?0.5555556?[f(?0.7745967)?f(0.7745967)]?0.8888889?f(0)
?10.9484用n?3的高斯—勒让德公式计算积分
I?0.3478548?[f(?0.8611363)?f(0.8611363)]?0.6521452?[f(?0.3399810)?f(0.3399810)] ?10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
cS?a?21?()2sin2?d?,
0a这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，
H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则
?a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。 解：
QR?6371,h?439,H?2384
从而有。
a?(2R?H?h)/2?7782.5 c?(H?h)/2?972.5cS?4a?21?()2sin2?d?0a?k 0 1 2 T0(k) 1.564640 1.564646 1.564646 T1(k) 1.564648 1.564646 T2(k) 1.564646 数值分析第四章
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I?1.564646
S?48708(km)即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式 nsin?n????33!n2??55!n4?L
试依据nsin()(n?3,6,12)的值，用外推算法求?的近似值。
?n解
n1315又Qsinx?x?x?x?L
3!5!?此函数的泰勒展式为
若f(n)?nsin?,
f(n)?nsin?n?1?1??n[?()3?()5?L]
n3!n5!n????33!n2??55!n4?LTn(k)??
当n?3时, nsin当n?6时, nsin?n?2.598076 ?3
?3.105829
?n当n?12时, nsin由外推法可得 n 3 6 9 故??3.14158
?nT0(n) 2.598076 3.000000 3.105829 T1(n) 3.133975 3.141105 T2(n) 3.141580 12。用下列方法计算积分
?31dy，并比较结果。 y(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
数值分析第四章
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(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解
I??31dy y(1)采用龙贝格方法可得 k 0 1 2 3 4 T0(k) 1.333333 1.166667 1.116667 1.103211 1.099768 T1(k) 1.099259 1.100000 1.098726 1.098620 T2(k) 1.099259 1.098641 1.098613 T3(k) 1.098613 1.098613 T4(k) 1.098613
故有I?1.098613 (2)采用高斯公式时
I??31dy y此时y?[1,3],
令x?y?z,则x?[?1,1],
I??1dx,?1x?2 1f(x)?,x?21利用三点高斯公式，则
I?0.5555556?[f(?0.7745967)?f(0.7745967)]?0.8888889?f(0)
?1.098039利用五点高斯公式，则
I?0.2369239?[f(?0.9061798)?f(0.9061798)]?0.4786287?[f(?0.5384693)?f(0.5384693)]?0.5688889?f(0) ?1.098609(3)采用复化两点高斯公式 将区间[1,3]四等分，得
I?I1?I2?I3?I4??1.512dy2.5dy3dy dy??????1.5y22.5yyy数值分析第四章
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作变换y?x?5，则 41dx,?1x?51 f(x)?,x?5I1?f(?0.5773503)?f(0.5773503)?0.4054054I1??1作变换y?x?7，则 41dx,?1x?71 f(x)?,x?7I2?f(?0.5773503)?f(0.5773503)?0.2876712I2??1作变换y?x?9，则 41dx,?1x?91 f(x)?,x?9I3?f(?0.5773503)?f(0.5773503)?0.2231405I3??1作变换y?x?11，则 41dx,?1x?111 f(x)?,x?11I4?f(?0.5773503)?f(0.5773503)?0.1823204I4??1因此，有
I?1.098538
13.用三点公式和积分公式求f(x)?1在x?1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差。2(1?x)f(x)的值由下表给出：
x F(x) 解：
1.0 1.1 1.2 0.2500 0.2268 0.2066 f(x)?1 2(1?x)数值分析第四章
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由带余项的三点求导公式可知
1h2f?(x0)?[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]?f???(?)2h31h2 f?(x1)?[?f(x0)?f(x2)]?f???(?)2h61h2f?(x2)?[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]?f???(?)2h3又Qf(x0)?0.2500,f(x1)?0.2268,f(x2)?0.2066,
?f?(x0)?f?(x1)?1[?3f(x0)?4f(x1)?f(x2)]?0.2472h1[?f(x0)?f(x2)]??0.217 2h1f?(x2)?[f(x0)?4f(x1)?3f(x2)]??0.1872h又Qf(x)?1
(1?x)2?f???(x)??24 5(1?x)又Qx?[1.0,1.2]
?f???(?)?0.75
故误差分别为
h2R(x0)?f???(?)?2.5?10?33h2R(x1)?f???(?)?1.25?10?3
6h2R(x2)?f???(?)?2.5?10?33利用数值积分求导， 设?(x)?f?(x)
f(xk?1)?f(xk)??由梯形求积公式得
xk?1xk?(x)dx
?xk?1xk?(x)dx?[?(xk)??(xk?1)]
h2
数值分析第4章答案
