数值分析第四章
5hT6?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]?1.03562
2k?16
复化辛普森公式为
55hS6?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]?1.03577
k?6k?0k?123。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为
?baf(x)dx?b?a[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)] 90令f(x)?1，则
?baf(x)dx?b?a90b?a[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]?b?a90令f(x)?x，则
b122f(x)dx?xdx?(b?a)?a?a2
b?a1[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]?(b2?a2)902b令f(x)?x，则
b1332f(x)dx?xdx?(b?a)?a?a3
b?a133[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]?(b?a)903b2令f(x)?x，则
b1434f(x)dx?xdx?(b?a)?a?a4
b?a14[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]?(b?a4)904b3令f(x)?x，则
4数值分析第四章
b1545f(x)dx?xdx?(b?a)?a?a5
b?a1[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]?(b5?a5)905b7
令f(x)?x，则
b1656f(x)dx?xdx?(b?a)?a?a6
b?a1[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]?(b6?a6)906b5令f(x)?x，则
6?h0f(x)dx?b?a[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)] 90因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分解：
辛普森公式为
?10e?xdx并估计误差。
S?b?aa?b[f(a)?4f()?f(b)] 62此时，
a?0,b?1,f(x)?e?x,
从而有
1?1S?(1?4e2?e?1)?0.63233
6误差为
R(f)???b?ab?a4(4)()f(?)180211?4?e0?0.00035,??(0,1)1802
5。推导下列三种矩形求积公式：
???bababaf?(?)(b?a)2;2f?(?)f(x)dx?(b?a)f(b)?(b?a)2;
2a?bf??(?)f(x)dx?(b?a)f()?(b?a)3;224f(x)dx?(b?a)f(a)?数值分析第四章
8
证明：
(1)Qf(x)?f(a)?f?(?)(x?a),??(a,b)
两边同时在[a,b]上积分，得
?baf(x)dx?(b?a)f(a)?f?(?)?(x?a)dx
ab即
f?(?)2(b?a)?a 2(2)Qf(x)?f(b)?f?(?)(b?x),??(a,b)bf(x)dx?(b?a)f(a)?两边同时在[a,b]上积分，得
?baf(x)dx?(b?a)f(a)?f?(?)?(b?x)dx
ab即
f?(?)2(b?a)?a2
a?ba?ba?bf??(?)a?b2(3)Qf(x)?f()?f?()(x?)?(x?),??(a,b)22222bf(x)dx?(b?a)f(b)?两连边同时在[a,b]上积分，得
??baf(x)dx?(b?a)f(a?ba?bba?bf??(?)ba?b2)?f?()?(x?)dx?(x?)dx ?aa22222a?bf??(?))?(b?a)3; 22410即
baf(x)dx?(b?a)f(x6。若用复化梯形公式计算积分I??edx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超
过
1?10?5？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 2解：
采用复化梯形公式时，余项为
Rn(f)??又QI?b?a2hf??(?),??(a,b) 12exdx
xx?10故f(x)?e,f??(x)?e,a?0,b?1.
?Rn(f)?12ehf??(?)?h2 1212数值分析第四章
9
若Rn(f)?1?10?5，则 26h2??10?5
e当对区间[0,1]进行等分时，
1h?,
n故有
n?e?10?5?212.85 6因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为
Rn(f)??b?ah4(4)()f(?),??(a,b) 1802x又Qf(x)?e,
?f(4)(x)?ex,?Rn(f)??若Rn(f)? 1eh4|f(4)(?)|?h4288028801?10?5，则 2h4?1440?10?5 e当对区间[0,1]进行等分时
n?1 h故有
1144054n?(?10)?3.71
e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分I??f(x)dx所得结果比准确值I大，并说
ab明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为
RT??f??(?)(b?a)3,??[a,b] 12又Qf??(x)?0且b?a
?RT?0
数值分析第四章
10
又QRT?1?T
?I?T
即计算值比准确值大。
其几何意义为，f??(x)?0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10.
?5(1)2e??01?xdx(2)?xsinxdx
02?(3)?x1?x2dx.03解：
(1)I?2??10e?xdx
T0(k) 0.7717433 0.7280699 0.7169828 0.7142002 k 0 1 2 3 2?T1(k) 0.7135121 0.7132870 0.7132726 T2(k) 0.7132720 0.7132717 T3(k) 0.7132717 因此I?0.713727
(2)I??xsinxdx
0k 0 1 因此I?0
T0(k) 3.451313?10 8.628283?10 ?7?6T1(k) -4.446923?10?21 (3)I??x1?x2dx
03k 0 1 2 3 4 5 T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 14.2302495 11.1713699 10.1517434 10.4437969 10.2012725 10.2045744 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922
数值分析第4章答案
