数值分析第四章
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第四章 数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
(1)?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);?hh(2)?2h?2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);
(3)?f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3;?1h(4)?f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)];0解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
令f(x)?1，则
2h?A?1?A0?A1
令f(x)?x，则
0??A?1h?A1h
令f(x)?x，则
223h?h2A?1?h2A1 3从而解得
4?A??03h?1?A?h ?13?1?A???13h?令f(x)?x，则
3?h?hf(x)dx??x3dx?0
?hhA?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0
故
?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。
4令f(x)?x，则
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?h?hf(x)dx??x4dx??hh25h525h3
A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?故此时，
?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
h?h故
?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
2h具有3次代数精度。 （2）若
??2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
令f(x)?1，则
4h?A?1?A0?A1
令f(x)?x，则
0??A?1h?A1h
令f(x)?x，则
2163h?h2A?1?h2A1 3从而解得
4?A??h?03?8?A?h ?13?8?A???13h?令f(x)?x，则
3?2h?2hf(x)dx??2h?2hx3dx?0
A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0
故
?2h?2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。
4令f(x)?x，则
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?2h?2hf(x)dx??2h?2hx4dx?645h 5165h 3A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?故此时，
2h???2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
因此，
2h?2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
1具有3次代数精度。 （3）若
??1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3
令f(x)?1，则
?1?1f(x)dx?2?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3
令f(x)?x，则
0??1?2x1?3x2
令f(x)?x，则
22?1?2x12?3x2
2从而解得
?x1??0.2899?x1?0.6899或? ?x?0.1266x?0.5266?2?2令f(x)?x，则
3?1?1f(x)dx??x3dx?0
?11[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3?0
故
?1?1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3不成立。
h因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若
?0f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]
令f(x)?1，则
?h0f(x)dx?h,
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h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h
令f(x)?x，则
hh1f(x)dx??xdx?h202?01h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h22令f(x)?x，则
2
?h01f(x)dx??x2dx?h303h1h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h3?2ah22故有
1313h?h?2ah232
1a?12令f(x)?x，则
h143f(x)dx?xdx?h?0?04
12141414h[f(0)?f(h)]/2?h[f?(0)?f?(h)]?h?h?h12244h3令f(x)?x，则
4154f(x)dx?xdx?h?0?05
12151515h[f(0)?f(h)]/2?h[f?(0)?f?(h)]?h?h?h12236hh故此时，
?h0f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?因此，
?h012h[f?(0)?f?(h)], 121f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?h2[f?(0)?f?(h)]
12具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
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(1)?xdx,n?8;04?x21(2)?(3)?(1?e)dx,n?10;0 x191?x21xdx,n?4;?(4)?64?sin2?d?,n?6;0解：
1x (1)n?8,a?0,b?1,h?,f(x)?284?x复化梯形公式为
7hT8?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]?0.11140
2k?1复化辛普森公式为
77hS8?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]?0.11157
k?6k?0k?12(2)n?10,a?0,b?1,h?复化梯形公式为
1(1?e),f(x)? 10x1?x29hT10?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]?1.39148
2k?1复化辛普森公式为
99hS10?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]?1.45471
k?6k?0k?12(3)n?4,a?1,b?9,h?2,f(x)?x,
复化梯形公式为
3hT4?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]?17.22774
2k?1复化辛普森公式为
33hS4?[f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)]?17.32222k?6k?0k?12(4)n?6,a?0,b?复化梯形公式为
?6,h??36
,f(x)?4?sin2?
数值分析第4章答案
