高中数学函数知识点梳理
1. .函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数； ?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果
f?(x)?0，则f(x)为减函数.
注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数;如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).
注：对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?b2;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b2对称.
a注：若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称;若
2f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.
nn?13. 多项式函数P(x)?anx?an?1x???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x) ?f(2a?x)?f(x).
(2)函数y?f(x)的图象关于直线x??f(a?b?mx)?f(mx).
a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx)
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x??1a?b2m对称.
(3)函数y?f(x)和y?f(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图
象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
1k[f?127.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?y?[f?1(x)?b],并不是
(kx?b),而函数y?[f?1(kx?b)是y?1k[f(x)?b]的反函数.
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c. (2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
f(0)?1,limg(x)xx?0?1.
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0， 或f(x?a)?或f(x?a)??或
12?1f(x)1f(x)2(f(x)?0)，
(f(x)?0),
f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a；
(3)f(x)?1?1f(x?a)(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；
(4)f(x1?x2)?f(x)的周期T=4a；
f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则
(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 8. 分数指数幂
m(1)an?(2)a?mn1nam?（a?0,m,n?N，且n?1）.
?1m?（a?0,m,n?N，且n?1）.
an9. 根式的性质 n（1）(na)?a. （2）当n为奇数时，a?a；
nn当n为偶数时，an?|a|??10. 有理指数幂的运算性质
n?a,a?0??a,a?0.
(1)ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2)(ar)s?ars(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p
注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
logaN?b?a?N(a?0,a?1,N?0).
b34.对数的换底公式
logaN?logmNlogmam (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
nmlogab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
n推论 logab?11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN; (2)logaMNn?logaM?logaN; ?nlogaM(n?R).
m(3)logaM注：设函数f(x)?log单独检验.
(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为
2R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要
12. 对数换底不等式及其推论
若a?0,b?0,x?0,x?1a1,则函数y?logax(bx)
1(1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11(2)(2)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为减函数.
aa推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga2m?n2.
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