中档题目强化练——三角函数、解三角形
A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
7
1． 已知角A是△ABC的一个内角，若sin A＋cos A＝，则tan A等于
13
12A．－
5答案 A
7??sin A＝13，?sin A＋cos A＝13，解析 由?得?5??sin2A＋cos2A＝1，cos A＝－?13
7
B. 12
7C．－
12
12D. 5
( )
12
?或?12
cos A＝?13
3π
A. 4答案 A
5
sin A＝－，
13
12
(舍去)，∴tan A＝－.
5
π
2． 函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是
4
3πB．－
4
πC. 4
πD. 2
( )
解析 ∵y＝cos x＋2的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，
ππ
∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ－φ(k∈Z)，令＝kπ－φ(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)，在四个
443π
选项中，只有满足题意．
4
π?π
3． 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f??3?＝0，则ω的最小12
值为
( )
A．2 答案 A
B．4 C．6 D．8
πππ
解析 由题意知ω·＋φ＝k1π，ω·＋φ＝k2π＋，
1232其中k1，k2∈Z，两式相减可得ω＝4(k2－k1)＋2， 又ω>0，易知ω的最小值为2.故选A.
π
ω>1，|φ|
π
＝0，x2＝，则
( )
2
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在??0，π
2??上为增函数 B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在??0，π
2??上为减函数 C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数 答案 B
解析 由已知条件得f(x)＝2cos??ωx＋φ＋π3??， 由题意得T2＝π2，∴T＝π.∴T＝2π
ω，∴ω＝2.
又∵f(0)＝2cos?π
?φ＋3??，x＝0为f(x)的对称轴， ∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|<ππ
2，∴φ＝－3，
此时f(x)＝2cos 2x，在??0，π
2??上为减函数，故选B. 5． 已知函数f(x)＝3sin 2x＋cos 2x－m在??0，π
2??上有两个零点，则m的取值范围是
( A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2]
D．[1,2]
答案 B
解析 利用三角函数公式转化一下，得f(x)＝2sin(2x＋π
6)－m，
它的零点是函数yπ
1＝2sin(2x＋6)和y2＝m的交点所对应的x的值，
∴要在??0，π
2??上有两个零点，y1和y2就要有两个交点， 结合函数y1＝2sin??2x＋π6??在??0，π
2??上的图象， 知道当y2＝m在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点． 二、填空题(每小题5分，共15分) 6． 已知△ABC的面积为
32，AC＝3，∠ABC＝π
3
，则△ABC的周长等于________．答案 3＋3
)
13解析 S＝acsin∠ABC＝，得ac＝2；①
22
a2＋c2－b2
根据余弦定理cos∠ABC＝，得a2＋c2＝5.②
2ac由①②可求得a＋c＝3，则三角形周长可求． π
2x＋?的对称中心为________． 7． 函数y＝tan?6??
πkπ
－＋，0?(k∈Z) 答案 ??124?
kπ?π
解析 ∵y＝tan x(x≠＋kπ，k∈Z)的对称中心为??2，0?(k∈Z)， 2πkππkπ
∴可令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)．
62124π
2x＋?的对称中心为 因此，函数y＝tan?6??
?－π＋kπ，0?(k∈Z)．
?124?
π?28． 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f?＝－，则f(0)＝________. ?2?3
2
答案
3
2π
解析 由图象，可知所求函数的最小正周期为，
3故ω＝3.
7π?
从函数图象可以看出这个函数的图象关于点??12，0?中心对称， 7π?7π
－x＝－f?＋x?， 也就是函数f(x)满足f??12??12?π?π?2π?＝－f(0)， 当x＝时，得f?＝－f?2??3?122
故得f(0)＝. 3三、解答题(共22分)
9． (10分)(2013·重庆)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋3
bc. (1)求A；
(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值． 解 (1)由余弦定理得
b2＋c2－a2－3bc3
cos A＝＝＝－.
2bc2bc25π
又因为0 (2)由(1)得sin A＝， 2又由正弦定理及a＝3得 11asin BS＝absin C＝··asin C＝3sin Bsin C， 22sin A因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C) ＝3cos(B－C)． π－Aπ所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cos Bcos C取最大值3. 212 π 10．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的相交点中，相 2 2ππ ，－2?. 邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M??3?2(1)求f(x)的解析式； ππ? (2)当x∈??12，2?时，求f(x)的值域． 2π?解 (1)由最低点为M??3，－2?，得A＝2. πTπ由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，＝， 2222π2π 即T＝π，所以ω＝＝＝2. Tπ 2π?由点M??3，－2?在函数f(x)的图象上， 2π 2×＋φ?＝－2， 得2sin?3??4π?即sin??3＋φ?＝－1. 4ππ11π 故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)． 326ππ 0，?，所以φ＝， 又φ∈??2?6π 2x＋?. 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?6??ππ?ππ7π ，，所以2x＋∈?，?. (2)因为x∈??122?6?36?πππ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 626 π7ππ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1. 662故函数f(x)的值域为[－1,2]． B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若0≤sin α≤ 2 ，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是 2 ( ) 7π5π －2π，－?∪?－，－π? A.?4??4?? 7π5π －2π＋2kπ，－＋2kπ?∪?－＋2kπ，－π＋2kπ? B.?4???4?(k∈Z) π3π 0，?∪?，π? C.??4??4? π3π 2kπ，2kπ＋?∪?2kπ＋，2kπ＋π?(k∈Z) D.?4??4??答案 A 解析 根据题意并结合正弦线可知， π 2kπ，2kπ＋?∪ α满足?4?? ?2kπ＋3π，2kπ＋π?(k∈Z)， 4?? ∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是 ?－2π，－7π?∪?－5π，－π?. 4??4?? 故选A. π 2． 同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图象关于直线x＝对称； 3 ππ －，?上是增函数”的函数可以是 ③在??63?xπ?A．f(x)＝sin??2＋6? π 2x－? B．f(x)＝sin?6??π2x＋? C．f(x)＝cos?3??π2x－? D．f(x)＝cos?6??答案 B ( )
[步步高]高考数学第一轮复习（典型题+详解）三角函数、解三角形专项基础训练
