读书之法,在循序而渐进,熟读而精思
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结
来源：文都教育
导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。
第一节 导数
1．基本概念 （1）定义
f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)dydf(x)?y |x?x0(或|x?x0)?f'(x0)?lim?lim?lim?x?0?x?x?0x?0dxdx?xx?x0注：可导必连续，连续不一定可导.
注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数
f?'(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x?xx?x00f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x0?xx?x0f?'(x0)?lim??x?0f'(x0)存在?f?'(x0)?f?'(x0).
（3）导数的几何应用
曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程：y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).
法线方程：y?f(x0)??1(x?x0). f'(x0)2．基本公式
（1）C'?0 （2）(x)?axa'a?1
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（3）(ax)'?axlna（特例(ex)'?ex）（4）(logax)'?1(a?0,a?1) xlna（5）(sinx)'?cosx （6）(cosx)'??sinx
（7）(tanx)'?sec2x （8）(cotx)'??csc2x （9）(secx)'?secxtanx （10）(cscx)'??cscxcotx
（11）(arcsinx)'?11?x2 （12）(arccosx)'??11?x2
（13）(arctanx)'?11(arccotx)'?? （14） 221?x1?x（15[ln(x?x2?a2)]'?1x?a22
3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则
uu'v?uv'(u?v)'?u'?v' (uv)'?u'v?uv' ()'?
vv2（2）复合函数求导法则--链式法则
设y?f(u),u??(x)，则y?f(?(x))的导数为：[f(?(x))]'?f'(?(x))?'(x).
sin21x例5 求函数y?e的导数.
（3）反函数的求导法则
设y?f(x)的反函数为x?g(y)，两者均可导，且f'(x)?0，则
g'(y)?11?. f'(x)f'(g(y))（4）隐函数求导
Fx'设函数y?f(x)由方程F(x,y)?0所确定，求y'的方法有两种：直接求导法和公式法y'??'.
Fy（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数
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4．高阶导数
二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式：
（1）(ax)(n)?axlnna(a?0) 特别地，(ex)(n)?ex （2） (sinkx)（3）(coskx)(n)?knsin(kx?n)
2?kncos(kx?n)
2?(n)?（4）[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!
(1?x)n（5）(x)k(n)?k(k?1)(k?2)(k?n?1)xk?n
n（6）莱布尼茨公式：(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv，其中u(0)?u,v(0)?v k?0第二节 微分
1．定义
背景：函数的增量?y?f(x??x)?f(x).
定义：如果函数的增量?y可表示为?y?A?x?o(?x)，其中A是与?x无关的常数，则称函数
y?f(x)在点x0可微，并且称A?x为?x的微分，记作dy，则dy?A?x.
注：?y?dy,?x?dx 2．可导与可微的关系
一元函数f(x)在点x0可微，微分为dy?A?x?函数f(x)在x0可导，且A?f'(x0). 3．微分的几何意义 4．微分的计算
（1）基本微分公式dy?f'(x)dx.
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（2）微分运算法则 ②四则运算法则
uvdu?udv d(u?v)?du?dv duv?vdu?udv d()?vv2②一阶微分形式不变
若u为自变量，y?f(u),dy?f'(u)?u?f'(u)du；
若u为中间变量，y?f(u)，u??(x)，dy?f'(u)?'(x)dx?f'(u)du.
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