一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）s或12cm2． 【解析】
8524s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 5试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时． 试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x1=
824，x2=；
558524sP、Q两点之间的距离是10cm； 5∴经过s或
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤∴
16时，则PB=16-3y， 311PB?BC=12，即×（16-3y）×6=12， 22解得y=4；
②当
1622＜x≤时，
33BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
11BP?CQ=（3y-16）×2y=12， 22解得y1=6，y2=-③
2（舍去）； 322＜x≤8时， 3QP=CQ-PQ=22-y，则
11QP?CB=（22-y）×6=12， 22解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x??1即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
2试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于
315 ，） 42a??1{c?3点C（0，3），其对称轴l为x??1，∴，解得：{b??2，∴二次函数的
bc?3???12a解析式为y??x?2x?3=?(x?1)?4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
2（2）令y??x?2x?3?0，解得x??3或x?1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作
22a?b?c?0PD⊥x轴于点D，∵点P在y??x2?2x?3上，∴设点P（x，?x2?2x?3）， ①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即y??x2?2x?3?2，解得x=2?1（舍去）或x=?2?1，∴点P（?2?1，2）；
②设P(x，y)，则y??x2?2x?3，∵S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC
111111OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=?3?1+?(3?x)y?(y?3)(?x)=
222222333?x?y 222333329332752=?x?(?x?2x?3)=?x?x?6=?(x?)?， 22222228337515∴当x=?时，S四边形ABCP最大值=，当x=?时，y??x2?2x?3=，此时P
4822=
（?315，）． 42
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
3．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣
+t2＝
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）（+
），令+
＝t，
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣（+
）
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）×
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）仿照材料内容，令+
＝t代入原式计算．
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
4．如图，在RtABC中，∠B?90，AC?10cm，BC?6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点B同时出发，沿边AB，BC向终点C移动．已知点P，Q的速度分别为
2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请
求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2，理由见解析 【解析】 【分析】
根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】
解：∵?B?90，AC?10，BC?6， ∴AB?8．
∴BQ?x，PB?8?2x；
中考数学易错题专题训练-一元二次方程练习题附答案解析
